Question

（2012?莆田模擬）某行星的半徑為R₁、自轉周期為T₁，它有一顆衛星，繞行星公轉的軌道半徑為R₂、公轉周期為T₂．萬有引力常量為G．求：
（l）該行星的質量M；
（2）要在此行星的赤道上發射一顆質量為m的靠近行星表面繞行的人造衛星，使其軌道平面與行星的赤道平面重合，設行星上無氣體阻力，那么對人造衛星至少應做多少功？

Answer 1

分析：根據萬有引力提供衛星圓周運動的向心力可以列式求出行星的質量M；在赤道上發射近地衛星，同樣根據萬有引力提供向心力求出衛星的發射速度，再根據動能定理求出發射衛星過程中所做的功．

解答：解：（1）衛星與行星之間的萬有引力提供衛星繞行星作勻速圓周運動的向心力，設衛星的質量為m，則有：
G

mM

R 2 2

=mR2

4π2

T2

可得行星的質量M=

4π2 R 3 2

G T 2 2

（2）質量為m的人造衛星在靠近行星表面繞行時，可認為其軌道半徑為R₁，設繞行速度為v，由萬有引力提供向心力有：
G

mM

R 2 1

=m

v2

R1

該人造地球衛星在此行星赤道上隨行星一起自轉的速度：
v0=

2πR1

T1

發射衛星時至少應對它做的功為W，由動能定理得：
發射過程對衛星做的功等于衛星動能的變化即：
W=

1

2

mv2-

1

2

m

v

2 0

∴可得：W=

2mπ2 R 3 2

T 2 2 R1

-

2mπ2R12

T 2 1

答：（l）該行星的質量M=

4π2 R 2 2

G T 2 2

；
（2）要在此行星的赤道上發射一顆質量為m的靠近行星表面繞行的人造衛星，使其軌道平面與行星的赤道平面重合，設行星上無氣體阻力，那么對人造衛星至少應做功為：
W=

2mπ2 R 3 2

T 2 2 R1

-

2mπ2R12

T 2 1

．

點評：解決問題的關鍵是萬有引力提供圓周運動的向心力，另要知道相對地面的靜止的物體是有和自轉速度相同的初速度的這一點是解決本題第二問的關鍵．