Question

2009年3月1日，完成使命的“嫦娥一號”衛星成功撞擊月球．“嫦娥一號”衛星在北京航天飛行控制中心科技人員的精確控制下，15時36分，衛星啟動發動機開始變軌，然后關閉發動機沿拋物線下落，16時13分10秒成功落在月球的豐富海區域．撞擊產生了高達10km的塵埃層．模擬撞擊實驗顯示，塵埃能獲得的速度可達到衛星撞擊前速度的11%；在衛星變軌過程中，航天飛行控制中心還測得，衛星在離月球表面高176km的圓軌道上運行的周期為T₁=125min，在近月（高度不計）圓軌道上運行的周期T₂=107.8min．計算時取

3

107.8

=4.76．試估算（結果保留兩位有效數字）
（1）月球半徑R和月球表面重力加速度g；
（2）空中塵埃層存在的時間；
（3）“嫦娥一號”撞擊月球表面時的速度．

Answer 1

分析：（1）衛星繞月圓周運動時，由月球的萬有引力提供其向心力，根據牛頓第二定律對衛星在離月球表面高176km的圓軌道和近月軌道分別列式，聯立可求得R和g．
（2）上升最高的塵埃做豎直上拋運動，根據位移公式和對稱性求空中塵埃層存在的時間．
（3）根據條件：塵埃能獲得的速度可達到衛星撞擊前速度的11%，先由機械能守恒求出塵埃上升時的初速度，即能根據條件求出“嫦娥一號”撞擊月球表面時的速度．

解答：解：（1）衛星繞月圓周運動時，由月球的萬有引力提供其向心力，根據牛頓第二定律和萬有引力定律得：
在離月球表面高176km的圓軌道上，有  G

Mm

(R+h)2

=m

4π2

T 2 1

(R+h)  ①
在近月軌道上，有：G

Mm

R2

=m

4π2

T 2 2

R  ②
由①②得：

(R+h)3

R3

=

T 2 1

T 2 2

解得：
  R=

3 T 2 2

3 T 2 1 - 3 T 2 2

h=1.7×106m ③
  g=

4π2

T 2 2

R=1.6m/s2  ④
（2）上升最高的塵埃做豎直上拋運動，因此由 H=

1

2

g

t

2 下

得：t=2t_下=2

2H g

=2

2×104 1.6

=

5

×10²s=2.2×10²s
（3）塵埃上升時機械能守恒，有：
 

1

2

m

v

2 0

=mgH
得：v₀=

2gH

=

2×1.6×104

=1.8×10²m/s
則衛星撞擊月球時的速度約為v=

v0

11%

=

1.8×102

11%

=1.6×10³m/s
答：
（1）月球半徑R和月球表面重力加速度g為1.6m/s²；
（2）空中塵埃層存在的時間為2.2×10²s；
（3）“嫦娥一號”撞擊月球表面時的速度為1.6×10³m/s．

點評：本題是衛星問題，關鍵要建立模型，理清解題思路：萬有引力等于向心力．