Question

18．宇航員站在火星表面，從某點（高度遠小于火星半徑）平拋一個物體，測得物體在空中運動時間為t₁，水平射程為x；他從同一點以同樣大小的初速度豎直上拋另一物體，測得物體在空中的運動時間為t₂．經查資料得知：火星的半徑為R、自轉周期為T．求：
（1）火星表面的重力加速度；
（2）火星的“第一宇宙速度”大小；
（3）火星的“同步衛星”距火星表面的高度．

Answer 1

分析 （1）根據平拋運動的公式與豎直上拋運動的位移公式，即可求出加速度；
（2）根據萬有引力提供向心力，以及星體表面上根據衛星的萬有引力等于重力即可求出第一宇宙速度；
（3）由萬有引力提供向心力即可求出．

解答 解：（1）平拋的物體：x=v₀t₁，$h=\frac{1}{2}gt_1^2$
豎直上拋的物體：$h=-{v_0}{t_2}+\frac{1}{2}gt_2^2$
解得：g=$\frac{{2x{t_2}}}{{{t_1}（t_2^2-t_1^2）}}$
（2）對火星表面的物體：$\frac{GMm}{R^2}=mg$
對“近火衛星”：$\frac{GMm}{R^2}=m\frac{v^2}{R}$
解得：$v=\sqrt{\frac{{2x{t_2}R}}{{{t_1}（t_2^2-t_1^2）}}}$
（3）對于火星的“同步衛星”：$\frac{GMm}{{{{（R+h）}^2}}}=m\frac{{4{π^2}}}{T^2}（R+h）$
解得：$h=\root{3}{{\frac{{2x{t_2}{R^2}{T^2}}}{{4{π^2}{t_1}（t_2^2-t_1^2）}}}}-R$
答：（1）火星表面的重力加速度為$\frac{{2x{t_2}}}{{{t_1}（t_2^2-t_1^2）}}$；
（2）火星的“第一宇宙速度”大小為$\sqrt{\frac{2x{t}_{2}R}{{t}_{1}（{t}_{2}^{2}-{t}_{1}^{2}）}}$；
（3）火星的“同步衛星”距火星表面的高度是$\root{3}{\frac{2x{t}_{2}{R}^{2}{T}^{2}}{4{π}^{2}{t}_{1}（{t}_{2}^{2}-{t}_{1}^{2}）}}-R$．

點評 把星球表面的物體運動和天體運動結合起來是考試中常見的問題．重力加速度g是天體運動研究和天體表面宏觀物體運動研究聯系的物理量．