Question

13．我國“嫦娥二號”衛星于2010年10月1日在西昌衛星發生中心發射升空，并于2010年10月6日上午被月球捕獲，成功進入環月軌道．假設“嫦娥二號”衛星繞月球做勻速圓周運動的周期為T，月球的半徑為R，月球表面的重力加速度g_月，引力常量為G，求：
（1）月球質量；
（2）探月衛星“嫦娥二號”離月球表面的高度；
（3）探月衛星“嫦娥二號”的運行速度．

Answer 1

分析 （1）根據萬有引力提供向心力求出月球的質量；
（2）（3）由萬有引力提供向心力即可求出“嫦娥二號”離月球表面的高度和線速度．

解答 解：（1）在月球的表面：mg_月=$\frac{GMm}{{R}^{2}}$
所以：M=$\frac{{g}_{月}{R}^{2}}{G}$
（2）衛星的周期為T，由萬有引力提供向心力得：$\frac{GMm}{（R+h）^{2}}=\frac{4{π}^{2}m（R+h）}{{T}^{2}}$
所以：h=$\root{3}{\frac{{g}_{月}{R}^{2}{T}^{2}}{4{π}^{2}}}-R$
（3）由萬有引力提供向心力得：$\frac{GMm}{{（R+h）}^{2}}=\frac{m{v}^{2}}{R+h}$
所以：v=$\sqrt{\frac{GM}{R+h}}=\sqrt{\frac{{g}_{月}{R}^{2}}{\root{3}{\frac{{g}_{月}{R}^{2}{T}^{2}}{4{π}^{2}}}}}$
答：（1）月球質量$\frac{{g}_{月}{R}^{2}}{G}$；
（2）探月衛星“嫦娥二號”離月球表面的高度$\root{3}{\frac{{g}_{月}{R}^{2}{T}^{2}}{4{π}^{2}}}-R$；
（3）探月衛星“嫦娥二號”的運行速度$\sqrt{\frac{GM}{R+h}}=\sqrt{\frac{{g}_{月}{R}^{2}}{\root{3}{\frac{{g}_{月}{R}^{2}{T}^{2}}{4{π}^{2}}}}}$．

點評 該題考查衛星的線速度、周期之間的關系，解決本題的關鍵掌握線速度與周期的關系，掌握萬有引力提供向心力這一理論，并能靈活運用．