Question

（2006?西城區一模）在高能物理研究中，粒子回旋加速器起著重要作用，如圖甲為它的示意圖．它由兩個鋁制D型金屬扁盒組成，兩個D形盒正中間開有一條窄縫．兩個D型盒處在勻強磁場中并接有高頻交變電壓．圖乙為俯視圖，在D型盒上半面中心S處有一正離子源，它發出的正離子，經狹縫電壓加速后，進入D型盒中．在磁場力的作用下運動半周，再經狹縫電壓加速．如此周而復始，最后到達D型盒的邊緣，獲得最大速度，由導出裝置導出．已知正離子的電荷量為q，質量為m，加速時電極間電壓大小為U，磁場的磁感應強度為B，D型盒的半徑為R．每次加速的時間很短，可以忽略．正離子從離子源出發時的初速度為零．
（1）為了使正離子每經過窄縫都被加速，求交變電壓的頻率；
（2）求離子能獲得的最大動能；
（3）求離子第1次與第n次在下半盒中運動的軌道半徑之比．

Answer 1

分析：由周期公式求頻率；最大動能由D型盒的半徑決定；由半徑公式和動能定理求半徑．

解答：解：（1）使正離子每經過窄縫都被加速，交變電壓的頻率應等于離子做圓周運動的頻率，正離子在磁場中做勻速圓周運動，
由洛倫茲力提供向心力Bqv=m

v2

r

又T=

2πr

v

解得T=

2πm

qB

所以f=

qB

2πm

（2）當離子從D盒邊緣離開時速度最大，此時離子做圓周運動的半徑為D盒的半徑有v_m=

qBr

m

離子獲得的最大動能為E=

1

2

mv

2 m

=

q2B2R2

2m

（3）離子從S點經電場加速1次后，以速度v₁第1次進入下半盒，由動能定理Uq=

1

2

mv

2 1

得 v1=

2Uq m

又r1=

mv1

qB

=

m

qB

2qU m

離子從S點經電場加速3次后，以速度v₃第2次進入下半盒3Uq=

1

2

mv

2 3

解得v₃=

3×2Uq m

，r2=

mv3

qB

=

m

qB

3×2qU m

…離子經電場加速（2n-1）次后，第n次進入磁場 同理可得r_n=

m

qB

(2n-1)×2qU m

所以

r1

rn

=

1

2n-1

答：（1）為了使正離子每經過窄縫都被加速，交變電壓的頻率為

qB

2πm

；
（2）離子能獲得的最大動能為

q2B2R2

2m

；
（3）離子第1次與第n次在下半盒中運動的軌道半徑之比為

r1

rn

=

1

2n-1

．

點評：本題考查了回旋加速器中粒子的周期、頻率、最大動能和半徑公式，難度不大，但要認真分析．