Question

如圖所示，足夠長光滑水平軌道與半徑為R的光滑四分之一圓弧軌道相切．現從圓弧軌道的最高點由靜止釋放一質量為m的彈性小球A，當A球剛好運動到圓弧軌道的最低點時，與靜止在該點的另一彈性小球B發生沒有機械能損失的碰撞．已知B球的質量是A球質量的k倍，且兩球均可看成質點．
（1）若碰撞結束的瞬間，A球對圓弧軌道最低點壓力剛好等于碰前其壓力的一半，求k的可能取值：
（2）若k已知且等于某一適當的值時，A、B兩球在水平軌道上經過多次沒有機械能損失的碰撞后，最終恰好以相同的速度沿水平軌道運動．求此種情況下最后一次碰撞A球對B球的沖量．

Answer 1

分析：（1）小球A沿圓弧滾下過程機械能守恒，受到的重力和支持力的合力提供向心力；碰撞過程系統機械能守恒，同時系統動量守恒，小球A、B受到的重力和支持力的合力均提供向心力；
（2）對碰撞過程運用機械能守恒定律列式，同時根據結合動量守恒定律列式，求出碰撞前后的速度，最后根據動量定理球最后一次碰撞A球對B球的沖量．

解答：解：（1）設A球到達圓弧軌道最低點時速度為v₀，則由機械能守恒定律，有：

1

2

m

v

2 0

=mgR…（1）
設此時A球對軌道壓力為N，則：
N-mg=m

v 2 0

R

…（2）
設碰撞后A球的速度大小為v₁，對軌道的壓力為N₁，B球的速度為v₂，則由動量守恒定律，有：
mv₀=kmv₂±mv₁…（3）
機械能守恒，有

1

2

m

v

2 0

=

1

2

m

v

2 1

+

1

2

km

v

2 2

…（4）
碰撞后，在最低點，有
N1-mg=m

v 2 1

R

…（5）
根據已知條件，有
N1=

1

2

N…（6）
代入數值解上述方程組可得：
k=3 或k=

1

3

…（7）
即若碰撞結束的瞬間，A球對圓弧軌道最低點壓力剛好等于碰前其壓力的一半，求k為3或

1

3

．
（2）設最終兩球的速度大小為v，根據機械能守恒可得：
mgR=

1

2

m

v

2

+

1

2

kmv2…（8）
最后一次碰撞前A、B兩球的速度分別為v_A、v_B，則由機械能守恒和動量守恒定律，得到：
mv_A+kmv_B=kmv-mv…（9）

1

2

m

v

2 A

+

1

2

km

v

2 B

=

1

2

m

v

2

+

1

2

km

v

2

…（10）
設最后一次碰撞A對B的沖量為I，根據動量定理得：
I=kmv-km

v

B

…（11）
解上述方程組可得：I=

4km

k+1

2gR k+1

…（12）
故最后一次碰撞A球對B球的沖量為

4km

k+1

2gR k+1

．

點評：本題關鍵是碰撞前A球機械能守恒，碰撞過程兩球系統機械能守恒，動量也守恒，同時根據動量定理列式求解．