Question

蕩秋千是一項古老的運動，秋千是一塊板用兩根繩系在兩個固定的懸點組成，設某人的質量為m，身高為H，站立時重心離腳底H/2，蹲下時重心離腳底H/4，繩子懸掛點到踏板的繩長為6H，繩子足夠柔軟且不可伸長，繩子和踏板的質量不計，人身體始終與繩子保持平行，重力加速度為g。

（1）若該人在踏板上保持站式，由伙伴將其推至擺角θ₀（單位：rad），由靜止釋放，忽略空氣阻力，求擺至最低點時每根繩的拉力大小；

（2）若該人在踏板上保持站式，由伙伴將其推至擺角θ₁ （單位：rad），由靜止釋放，擺至另一側最大擺角為θ₂（單位：rad），設空氣阻力大小恒定，作用點距離腳底為H/3，求空氣阻力的大小。

（3）若該人在踏板上采取如下步驟：當蕩至最高處時，突然由蹲式迅速站起，而后緩緩蹲下，擺至另一側最高處時已是蹲式，在該處又迅速站起，之后不斷往復，可以蕩起很高。用此法可以蕩起的最大擺角為θm 弧度，假設人的“緩緩蹲下”這個動作不會導致系統機械能的損耗，而且空氣阻力大小和作用點與第（2）問相同，試證明：。

Answer 1

解：

（1）設蕩至最低點時速度為v，則由機械能守恒定律有  設拉力為F，則由牛頓第二定律                                   

求得           

每根繩的拉力                

（2）全程損耗的機械能為                             空氣阻力做的功為                                       

由功能關系有                                                   

求得                                    

（3）在一個周期內，通過“迅速站起”獲得的機械能（重力勢能）是

空氣阻力做的功是                                         

由功能關系有                                                        

求得                         ，得證。