Question

如圖所示，勻強磁場的磁感應強度為B，方向垂直紙面向里，MN為其左邊界．磁場中有一半徑為R、軸線與磁場平行的金屬圓筒，圓筒的圓心O到MN的距離OO₁=3R，O₁O所在直線與圓筒右側壁交于A點．圓筒通過導線和電阻r₀接地．現有范圍足夠大的平行電子束以相同的速度從很遠處垂直于MN向右射入磁場區．當金屬圓筒最初不帶電時，圓筒上以A點和C點為界，在ADC弧上各點都能接收到電子，而AEC弧上各點均不能接收到電子；當圓筒上電荷量達到相對穩定后，通過電阻r₀的電流恒為I．已知電子質量為m，電荷量為e，忽略運動電子間的相互作用和圓筒的電阻，取大地為零電勢點．求：
（1）電子射入磁場時的初速度v₀；
（2）電阻r₀的電流恒定時金屬圓筒的電勢φ；
（3）電阻r₀的電流恒定時電子到達圓筒時速度v和金屬圓筒的發熱功率P．

Answer 1

（1）根據題意，電子在磁場中運動的軌道半徑必定是r=4R，如圖所示．由  qvB=m

v02

r

得：v0=

4eBR

m

（2）穩定時，圓柱體上電荷不再增加，與地面電勢差恒為U
U=Ir₀
電勢 φ=-Ir₀
（3）電子從很遠處射到圓柱表面時速度滿足-eU=

1

2

mv2-

1

2

mv02
得：v=

v02- 2eIr0 m

電流為I，單位時間到達圓筒的電子數：n=

I

e

電子所具有總能量：E=n×

1

2

mv02=

mIv02

2e

消耗在電阻上的功率 P_r=I²r₀
所以圓筒發熱功率：P=

mIv02

2e

-I2r0
答：
（1）電子射入磁場時的初速度：v0=

4eBR

m

（2）電阻r₀的電流恒定時金屬圓筒的電勢：-Ir₀
（3）電阻r₀的電流恒定時電子到達圓筒時速度：v=

v02- 2eIr0 m

金屬圓筒的發熱功率：P=

mIv02

2e

-I2r0