Question

如圖所示，豎直放置的光滑半圓形軌道與光滑水平面AB相切于B點，半圓形軌道的最高點為C．輕彈簧一端固定在豎直擋板上，另一端有一質量為0.1kg的小球（小球與彈簧不相連）．用力將小球向左推，小球將彈簧壓縮一定量時用細繩固定住．此時彈簧的彈性勢能為4.05J．燒斷細繩，彈簧將小球彈出．取g=10m/s²，求
（1）欲使小球能通過最高點C，則半圈形軌道的半徑最大為多少？
（2）欲使小球通過最高點C后落到水平面上的水平距離最大，則半圓形軌道的半徑為多大？落點至B點的最大距離為多少？

Answer 1

（1）彈簧釋放過程，由EP=

1

2

m

v

21

…得 v₁=

2EP m

=9m/s
B到C的運動過程中，由機械能守恒得

1

2

m

v

21

=mg(2r)+

1

2

m

v

22

…
在C點有  mg+N=m

v 22

r

…
由N≥0
得r≤

81

50

m…
得rm=

81

50

=1.62m…
（2）小球做平拋運動過程，y=

1

2

gt2=2r…x=v₃t
由系統機械能守恒得  EP=mg(2r)+

1

2

m

v

23

…
由以上得x=

(8.1-4r)4r

…
根據數學知識得：當（8.1-4r）=4r時，x有極值
即r=

8.1

8

=1.01m時              
得 x_m=4r=4.04m
答：
（1）欲使小球能通過最高點C，則半圈形軌道的半徑最大為1.62m．
（2）欲使小球通過最高點C后落到水平面上的水平距離最大，則半圓形軌道的半徑為1.01m，落點至B點的最大距離為4.04m．