Question

如圖所示，長為L的光滑水平軌道PQ與兩個曲率半徑相同的光滑圓弧軌道相連，圓弧軌道與水平軌道連接處的切線為水平方向，A球以速度v₀向右運動，與靜止于水平軌道中點處的小球B發生碰撞，碰撞時無機械能損失，已知A、B兩球的質量分別為m_A，m_B，且m_A:m_B=1:4，小球在圓弧軌道上的運動可認為是簡諧運動。（每次碰撞均無機械能損失）試求：

（1）第一次碰撞剛結束時小球A、B各自的速度。

（2）兩球第二次碰撞位置距Q點多遠？

（3）討論小球第n次碰撞結束時各自的速度。

Answer 1

（1）    

（2）

（3）n為奇數時，碰后速度為   

          n為偶數時，碰后速度為         

解析:

（1）設A、B球第一次碰撞剛結束時的速度分別為v₁、v₂，取向右為正，由碰撞過程中動量守恒和機械能守恒得： （2分）

                                     （2分）

解得：         （2分）

（2）兩球在圓弧軌道上運動的時間均為簡諧運動周期的二分之一，時間相等，側兩球在水平軌道上運動的時間也相等。

       （4分）

到Q點的距離為         （2分）

      （3）設第二次碰撞后的A、B球速度分別為v₁＇、v₂＇，由碰撞中動量守恒和機械能守恒得：     （1分）

（1分）

解得：            （2分）

第三次碰撞前速度與第一次碰撞前相同，因此第一次碰撞后速度與第一次碰撞后速度相同

計算可知第四次碰撞又回到中點位置，則第五次碰撞的速度與第一次完全相同

由此可知：n為奇數時，碰后速度為   

          n為偶數時，碰后速度為         （2分）