Question

如圖，一個豎直放置的圓錐筒可繞其中心軸OO′轉動，筒內壁粗糙，筒口半徑和筒高分別為R和H，筒內壁A點的高度為筒高的一半，內壁A點上有一質量為m的小物塊．
①當筒不轉動時，求物塊靜止在筒壁A點時受到的摩擦力和支持力的大小？
②當物塊在A點隨筒做勻速轉動，且其所受到的摩擦力為零時，求筒轉動的角速度大小？
③若H=0.075m，R=0.1m，物體隨筒一起勻速轉動并保持相對靜止時，物體受到的摩擦力大小為其重力的一半，求筒轉動的角速度大小？

Answer 1

【答案】分析：（1）當筒不轉動時，物塊受到重力、筒壁A的摩擦力和支持力作用，根據平衡條件求解．角度由數學知識求出．
（2）當物塊在A點隨筒做勻速轉動，且其受到的摩擦力為零時，由重力和支持力的合力提供物塊的向心力，由牛頓第二定律求解．
（3）靜摩擦力方向可能向上也可能向下，根據向心力公式列式即可求解．
解答：解：（1）當筒不轉動時，物塊靜止在筒壁A點時受到的重力、摩擦力和支持力三力作用而平衡，
   由平衡條件得
     摩擦力的大小：f=mgsinθ=
支持力的大小：N=mgcosθ=
（2）當物塊在A點隨筒做勻速轉動，且其所受到的摩擦力為零時，物塊在筒壁A點時受到的重力和支持力作用，它們的合力提供向心力，設筒轉動的角速度為ω有
   mgtanθ=mω²
由幾何關系得  tanθ=
聯立解得ω=
（3）若摩擦力方向沿斜面向上，則有：
豎直方向：Ncosθ+fsinθ=mg
水平方向：Nsinθ-fcosθ=mω²r
其中f=，r=
解得：ω=5 rad/s
若摩擦力方向沿斜面向下，則有：
豎直方向：Ncosθ-fsinθ=mg
水平方向：Nsinθ+fcosθ=mω²r
其中f=，r=
解得：ω=5 rad/s
答：①當筒不轉動時，物塊靜止在筒壁A點時受到的摩擦力大小為，支持力的大小為；
②當物塊在A點隨筒做勻速轉動，且其所受到的摩擦力為零時，筒轉動的角速度大小為；
③若H=0.075m，R=0.1m，物體隨筒一起勻速轉動并保持相對靜止時，物體受到的摩擦力大小為其重力的一半，筒轉動的角速度大小為5 rad/s或5 rad/s．
點評：本題是圓錐擺類型．關于向心力應用的基本方程是：指向圓心的合力等于向心力，其實是牛頓第二定律的特例．