Question

【題目】萬有引力定律揭示了天體運動規律與地上物體運動規律具有內在的一致性。

(1)用彈簧測力計稱量一個相對地球靜止的小物體的重量，隨稱量位置的變化可能會有不同的結果。已知地球的質量為M，自轉周期為T，萬有引力常量為G。將地球視為半徑為R、質量均勻分布的球體，不考慮空氣的影響。設在地球北極地面稱量時，彈簧測力計的讀數為F0，若在北極上空高出地面h處稱量，彈簧測力計讀數為F1，若在赤道地面稱量，彈簧測力計讀數為F2，求比值的表達式和比值的表達式。

(2)設想地球繞太陽公轉的圓周軌道半徑r，太陽的半徑RS和地球半徑R三者均減小為現在的1.0%，而太陽和地球的密度均勻且不變。僅考慮太陽和地球之間的相互作用，以現實地球的1年為標準，計算“設想地球”的一年將變為多長。

Answer 1

【答案】(1)，；(2)1年

【解析】

(1)設小物體質量為m，在北極地面

在北極上空高出地面h處

在赤道地面，小物體隨地球自轉做勻速圓周運動，受到萬有引力和彈簧秤的作用力，有

得

(2)地球繞太陽做勻速圓周運動，受太陽得萬有引力。設太陽得質量為，地球得質量為M，地球公轉周期為TE，有：

解得

其中為太陽得密度。由上式可知，地球公轉周期TE僅與太陽得密度、地球公轉軌道半徑與太陽半徑之比有關。因此“設想地球”的1年與現實地球的1年時間相同。