Question

8．水平固定的光滑U型金屬框架寬為L，足夠長，其上放一質量為m的金屬棒ab，左端連接有一阻值為R的電阻（金屬框架、金屬棒及導線的電阻均可忽略不計），整個裝置處在向下的勻強磁場中，磁感應強度大小為B．現給棒一個初速v₀，使棒始終垂直框架并沿框架運動，

（1）金屬棒從開始運動到達穩定狀態的過程中求通過電阻R的電量和電阻R中產生的熱量
（2）金屬棒從開始運動到達穩定狀態的過程中求棒通過的位移
（3）如果將U型金屬框架左端的電阻R換為一電容為C的電容器，其他條件不變，如圖所示．求金屬棒從開始運動到達穩定狀態時電容器的帶電量和電容器所儲存的能量（不計電路向外輻射的能量）

Answer 1

分析 （1）由動量定理和Q=It求解通過電阻的電荷量，由能量守恒定律求產生的熱量；
（2）由法拉第電磁感應定律求出感應電動勢，由歐姆定律求出電流，由電流的定義式求出電荷量，然后求出金屬棒的位移．
（3）由電容的定義式和動量定理聯立求解．

解答 解：（1）最終桿ab將靜止，對桿，由動量定理得：
-$\overline{F}$t=0-mv₀，即：-B$\overline{I}$L•t=0-mv₀，
電荷量：q=It，解得：q=$\frac{m{v}_{0}}{BL}$；
由能量守恒定律得：Q=$\frac{1}{2}$mv₀²；
（2）感應電動勢：E=$\frac{△Φ}{△t}$=$\frac{B•△S}{△t}$=$\frac{BLs}{△t}$，
平均感應電流：I=$\frac{E}{R}$=$\frac{BLs}{R△t}$，
通過電阻的電荷量：q=I△t=$\frac{BLs}{R}$，
金屬棒通過的位移：s=$\frac{m{v}_{0}R}{{B}^{2}{L}^{2}}$；
（3）當金屬棒ab做切割磁力線運動時，要產生感應電動勢，這時電容器C將被充電，
ab棒中有充電電流存在，ab棒受到安培力的作用而減速，當ab棒以穩定速度v勻速運動時，
電容兩端電壓等于電動勢即：E=BLv=U_C ①
電容器兩端電壓：U_C=$\frac{{Q}_{C}}{C}$ ②
對導體棒ab，由動量定理可得：
-BLQ_c=mv-mv₀ …③
由①②③式聯立可求得：v=$\frac{m{v}_{0}}{m+{B}^{2}{L}^{2}C}$，
電容器的電荷量：Q_C=CBLv=$\frac{CBLm{v}_{0}}{m+{B}^{2}{L}^{2}C}$，
由能量守恒定律得，電容器儲存的能量：E_C=$\frac{1}{2}$mv₀²-$\frac{1}{2}$mv²=$\frac{1}{2}$mv₀²-$\frac{1}{2}$m（$\frac{m{v}_{0}}{m+{B}^{2}{L}^{2}C}$）²；
答：（1）金屬棒從開始運動到達到穩定狀態的過程中，通過電阻R的電量為$\frac{m{v}_{0}}{BL}$，
電阻R中產生的熱量為 $\frac{1}{2}$mv₀²；
（2）金屬棒從開始運動到達到穩定狀態的過程中求金屬棒通過的位移為$\frac{m{v}_{0}R}{{B}^{2}{L}^{2}}$；
（3）金屬棒從開始運動到達穩定狀態時電容器的帶電量為$\frac{CBLm{v}_{0}}{m+{B}^{2}{L}^{2}C}$，電容器所儲存的能量$\frac{1}{2}$mv₀²-$\frac{1}{2}$m（$\frac{m{v}_{0}}{m+{B}^{2}{L}^{2}C}$）²．

點評 此題考查動量定理和能量守恒在電磁學中的應用，注意電路分析及E=BLv和C=$\frac{Q}{U}$ 的應用，難度相對比較大些．