Question

如圖所示，一水平方向的傳送帶以恒定速度v=2m/s沿順時針方向勻速轉動，傳送帶右端固定著一光滑的四分之一圓弧軌道，并與弧下端相切．一質量m=1kg的物體自圓弧軌道的最高點由靜止滑下，圓弧軌道的半徑尺R=0.45m，物體與傳送帶之間的動摩擦因數μ=0.2，不計物體滑過曲面與傳送帶交接處時的能量損失，傳送帶足夠長，取g=10m/s²．
（1）求物體從第一次滑上傳送帶到離開傳送帶所經歷的時間；
（2）求物體從第一次滑上傳送帶到離開傳送帶的過程中，傳送帶對物體做的功及由于摩擦產生的熱量；
（3）求物體從第二次滑上傳送帶到離開傳送帶的過程中，傳送帶對物體做的功及由于摩擦產生的熱量；
（4）經過足夠長的時間之后物體能否停下來？若能，請說明物體停下的位置；若不能，請簡述物體的運動規律．

Answer 1

分析：（1）根據機械能守恒定律求出滑塊滑上傳送帶的速度，滑上傳送帶先做勻減速直線運動到零，然后返回做勻加速直線運動達到傳送帶速度一起做勻速運動，根據牛頓第二定律和運動學公式求出物體從第一次滑上傳送帶到離開傳送帶所經歷的時間；
（2）根據動能定理通過物體的初末速度，求出物體從第一次滑上傳送帶到離開傳送帶的過程中，傳送帶對物體做的功．根據運動學公式求出相對路程的大小，從而根據Q=f△x求出摩擦產生的熱量．
（3）根據機械能守恒定律，物體第二次滑上傳送帶時的速度為2m/s．通過運動學公式求出運動的時間，從而求出相對路程的大小，通過動能定理求出傳送帶對物體做功的大小，通過功能關系求出摩擦產生的熱量．
（4）物體不會停下來，物體在圓弧軌道和傳送帶上做周期性往復運動．

解答：解：（1）物體沿圓弧軌道下滑的過程中機械能守恒，設物體滑到傳送帶右端時的速度為v₁，則有：
mgR=

1

2

mv12．
解得v₁=3m/s．
物體在傳送帶上運動的加速度大小為a=

μmg

m

=μg=2m/s2．
物體在傳送帶上向左運動的時間t1=

v1

a

=1.5s．
向左運動的最大距離s=

v12

2a

=2.25m．
物體向右運動達到速度為v時，向右運動的距離s1=

v2

2a

=1m．
所用的時間t2=

v

a

=1s，勻速運動的時間t3=

s-s1

v

=0.625s．
所以t=t₁+t₂+t₃=1.5+1+0.625s=3.125s．
（2）根據動能定理得，傳送帶對物體做的功
W=

1

2

mv2-

1

2

mv12=-2.5J．
物體相對傳送帶滑過的路程△x=

v2-v12

-2a

+v(t1+t2)=6.25m
由于摩擦產生的熱量Q=μmg?△x=12.5J．
（3）根據機械能守恒定律，物體第二次滑上傳送帶時的速度為2m/s．
物體先向左做勻減速運動，減速到速度為零，然后向右做勻加速運動，直到速度變為v=2m/s．
時間t4=2

v

a

=2s．
根據動能定理，由于物體從滑上傳送帶到離開傳送帶過程中物體的動能沒有變化，故傳送帶對物體所做的功W₂=0．
在這段時間內物體相對傳送帶滑過的路程△x₂=vt₄=4m
所以由于摩擦產生的熱量為
Q′=μmg?△x₂=0.2×1×10×4J=8J．
（4）物體不會停下來，物體在圓弧軌道和傳送帶上做周期性往復運動．

點評：解決本題的關鍵理清物體的運動過程，知道物體的運動規律，結合動能定理、牛頓第二定律和運動學公式進行求解．