Question

10．已知地球半徑為R，地球表面的重力加速度為g，月球半徑為r，月球表面的重力加速度為$\frac{g}{6}$，月球繞地球做勻速圓周運動的周期為T．求：
（1）月球的質量與地球的質量之比；
（2）月球球心到地球球心的距離．

Answer 1

分析 （1）根據重力等于萬有引力分別求出月球質量和地球質量，再求比值
（2）根據萬有引力提供向心力求出月球球心到地球球心的距離

解答 解：（1）月球表面物體重力等于萬有引力，有：
$m\frac{g}{6}=G\frac{{M}_{月}^{\;}m}{{r}_{\;}^{2}}$
解得：${M}_{月}^{\;}=\frac{g{r}_{\;}^{2}}{6G}$
地球表面物體重力等于萬有引力，有：$mg=G\frac{{M}_{地}^{\;}m}{{R}_{\;}^{2}}$
解得：${M}_{地}^{\;}=\frac{g{R}_{\;}^{2}}{G}$
$\frac{{M}_{月}^{\;}}{{M}_{地}^{\;}}=\frac{{r}_{\;}^{2}}{6{R}_{\;}^{2}}$
（2）月球繞地球球心的距離為r，根據萬有引力提供向心力有：
$G\frac{{M}_{地}^{\;}{M}_{月}^{\;}}{{r}_{\;}^{2}}={M}_{月}^{\;}\frac{4{π}_{\;}^{2}}{{T}_{\;}^{2}}r$
解得：${r}_{\;}^{3}=\frac{G{M}_{地}^{\;}{T}_{\;}^{2}}{4{π}_{\;}^{2}}=\frac{g{R}_{\;}^{2}{T}_{\;}^{2}}{4{π}_{\;}^{2}}$
即：$r=\root{3}{\frac{g{R}_{\;}^{2}{T}_{\;}^{2}}{4{π}_{\;}^{2}}}$
答：（1）月球的質量與地球的質量之比$\frac{{r}_{\;}^{2}}{6{R}_{\;}^{2}}$；
（2）月球球心到地球球心的距離$\root{3}{\frac{g{R}_{\;}^{2}{T}_{\;}^{2}}{4{π}_{\;}^{2}}}$．

點評 本題要掌握萬有引力提供向心力和重力等于萬有引力這兩個重要的關系，掌握這兩個關系可以解決所有關于天體運動的問題．