Question

如圖所示，光滑水平地面上有一上表面光滑的左側有一立柱的、質量為2kg的物體C，一個輕彈簧左側與立柱相連，右側與質量為1kg的物體D栓接，C與D處于靜止狀態.D的正上方略小于1.25m處有一固定點O，一長為L=1.25m的輕繩一端系于O點，另一端系著一質量為m=3kg的物體. 開始時輕繩剛好伸直且與O點在同一水平高度上，將物體由該處靜止釋放. 當物體到達最低點O′時突然炸裂為質量分別為1kg和2kg的A、B兩部分，其中A脫離繩子水平向左運動，與物體D發生碰撞并立即結合在一起向左運動，B仍然與繩子連接，以v_B=6.5m/s水平向右運動. 不計空氣阻力，整個過程繩子不斷裂，g取10m/s². 求：

   （1）物體運動過程中繩子所受拉力的最大值F；
   （2）彈簧的最大彈性勢能.

Answer 1

（1）如圖所示，由題意分析可知： 物體從開始做圓周運動到最低點O＇，設物體在O＇點的速度為v，由機械能守恒定律得： mgL= ① 可得v=5m/s，設此時繩子拉力為F₁，由牛頓第二定律： F₁－mg=mv²/L　② 所以F₁=90N. 接著物體炸裂為兩部分A和B，設其速度和質量分別為v_A、v_B和m_A、m_B， B從O＇點以v_B的速度向右擺動，設此時繩子的拉力為F₂，由牛頓第二定律有： F₂－m_Bg= m_Bv_B²/L ③ V_B=6.5m/s m_B=2kg 所以F_­2=87.6n 因為F₁>F₂，所以繩子對物體的最大拉力為F₁，由牛頓第三定律知： 繩子所受的最大拉力F=F₁=90N，方向豎直向上。 （2）對A和B系統在O＇點炸裂為兩部分，水平方向動量守恒： mv= m_Av_A―m_Bm_B ④ 所以v_A=28m/s。 此后A以v_A=28m/s與D碰撞，設共同速度為v₁，由動量守恒定律有：m_Av_A=（m_A+m_D）v₁ ⑤ V₁=14m/s. A和D向左壓縮彈簧，A、C、D三者動量守恒，當A、C、D的速度相同時， 彈簧壓縮量最大，彈簧的彈性勢能最大，設共同速度為v₂，最大彈性勢能為E_pm。 （m_A+m_D）v₁=（m_A+m_D+m_C）v₂ ⑥ V_2­=7m/s。 E_pm=（m_A+m_D）v－（m_A+m_D+m_C）v ⑦ 即E_pm=98J