Question

如圖所示，坐標系xOy位于豎直平面內，空間中有沿水平方向、垂直紙而向外的勻強磁場，磁感應強度大小為B，在x＞0的空間內有沿x軸正方向的勻強電場，電場強度大小為E．一帶正電荷的小球從圖中x軸上的M點沿著與水平方向成θ=30°角的斜向下的直線做勻速運動，進過y軸上的N點進入x＜0的區域．要使小球進入x＜0的區域后能在豎直面內做勻速圓周運動，需要在x＜0的區域內另加一勻強電場．已知帶電小球做圓周運動時通過y軸上的P點（P點未標出），重力加速度為g，求：
（1）小球運動的速度大小；
（2）在x＜0的區域內所加勻強電場的電場強度的大小和方向；
（3）N點與P點間的距離．

Answer 1

分析：（1）球在MN段做勻速直線運動，重力、電場力和洛倫茲力三力平衡，由平衡條件可求解小球運動的速度大小；
（2）小球進入x＜0區域后在豎直面內做勻速圓周運動，則電場力與重力平衡，即可求得場強大小和方向；
（3）小球在磁場中做勻速圓周運動，由洛倫茲力提供向心力，根據牛頓第二定律求出軌跡半徑，畫出軌跡，由幾何知識求解N點與P點間的距離．

解答：解：（1）對小球在MN段的運動進行受力分析（如右圖所示），
因小球做勻速直線運動，所以有：
   qvBsin30°=qE　
解得：小球運動的速度大小為 v=

2E

B

．
（2）在x＜0的區域內，設所加的電場強度為E′，則由運動情況分析知，小球受的重力mg必與電場力qE′是一對平衡力，即有：
  qE′=mg　
又  mgtan 30°=qE　
故可得：E′=

3

E，其方向為豎直向上．
（3）小球在第二、三象限的磁場中做勻速圓周運動，根據牛頓第二定律，由洛倫茲力提供向心力，得：
  qvB=m

v2

R

　
則得，R=

mv

qB

畫出軌跡，如圖．設N、P間的距離為L，則結合幾何關系，有：
  L=2Rcos30°　
聯立解得：L=

6E2

gB2

．
答：
（1）小球運動的速度大小為

2E

B

；
（2）在x＜0的區域內所加勻強電場的電場強度的大小為

3

E，其方向為豎直向上．
（3）N點與P點間的距離為

6E2

gB2

．

點評：本題是帶電體在復合場中運動的類型，分析受力情況和運動情況是基礎，小球做勻速圓周運動時，畫出軌跡，由幾何知識求解距離．