Question

3．探月工程三期飛行試驗器在中國西昌衛星發射中心發射升空，最終進入距月球表面h的圓形工作軌道．設月球半徑為R，月球表面的重力加速度為g，萬有引力常量為G，則下列選項正確的是（　　）

• A． 飛行試驗器在工作軌道上的加速度為（$\frac{R}{R+h}$）²g
• B． 飛行試驗器繞月球運行的周期為2π$\sqrt{\frac{R}{g}}$
• C． 飛行試驗器在工作軌道上的繞行速度為$\sqrt{g（R+h）}$
• D． 月球的平均密度為$\frac{3g}{4πGR}$

Answer 1

分析 根據萬有引力提供向心力和萬有引力等于重力求出飛行試驗器在工作軌道上的線速度、加速度．
根據線速度和軌道半徑求出周期，根據萬有引力等于重力求出月球的質量，從而得出月球的平均密度．

解答 解：A、根據$G\frac{Mm}{（R+h）_{\;}^{2}}=ma$，得$a=\frac{GM}{（R+h）_{\;}^{2}}$，又$GM=g{R}_{\;}^{2}$，則$a=（\frac{R}{R+h}）_{\;}^{2}g$，故A正確；
B、飛行器繞月的周期$T=2π\sqrt{\frac{（R+h）_{\;}^{3}}{GM}}$，其中$GM=g{R}_{\;}^{2}$，得$T=2π\sqrt{\frac{（R+h）_{\;}^{3}}{g{R}_{\;}^{2}}}$，故B錯誤；
C、根據$G\frac{Mm}{（R+h）_{\;}^{2}}=m\frac{{v}_{\;}^{2}}{R+h}$，飛行器在工作軌道的線速度$v=\sqrt{\frac{GM}{R+h}}$，其中$GM=g{R}_{\;}^{2}$，得$v=\sqrt{\frac{g{R}_{\;}^{2}}{R+h}}$，故C錯誤；
D、根據$G\frac{Mm}{{R}_{\;}^{2}}=mg$，得月球的質量$M=\frac{g{R}_{\;}^{2}}{G}$，月球的體積$V=\frac{4π{R}_{\;}^{3}}{3}$，月球的密度$ρ=\frac{M}{V}=\frac{\frac{g{R}_{\;}^{2}}{G}}{\frac{4π{R}_{\;}^{3}}{3}}=\frac{3g}{4πGR}$，故D正確；
故選：AD

點評 解決本題的關鍵掌握萬有引力定律的兩個重要理論：1、萬有引力等于重力，2、萬有引力提供向心力，并能靈活運用．