Question

京津城際鐵路是中國最早開工建設并最先建成的高標準鐵路客運專線，連接首都北京和天津兩大直轄市．列車在正式運營前要進行測試．在某次測試中，測試人員從列車啟動開始，每隔一段時間記錄下列車的速度．列車速度v與對應時間t的數據記錄如下表所示：

t/s	0	100	200	300	400	500	600	700	800
v/（m?s-1）	0	20.0	40.0	60.0	80.0	100.0	100.0	100.0	100.0
t/s	900	1000	1100	1200	1300	1400	1500	1600	1700
v∥（m?s-1）	100.0	100.0	100.0	100.0	80.0	60.0	40.0	20.0	0

在下列問題中，將鐵路作為平直路面處理．取g=10m/s²．
（1）以時間t為橫軸、速度v為縱軸在坐標紙上建立直角坐標系，根據上表中的v、t數據，在坐標系中描點，并作出小車運動的v-t圖象．

（2）在這次測試中，列車在0至400s內的加速度大小是

0.2

m/s²；列車在整個運動過程中運動的距離約為

120

km．
（3）在這次測試中，列車減速時，一小物體從距列車地板2.5m高的頂板上脫落．將列車的減速過程視為勻減速運動．試計算小物體在地板上的落點與在頂板上的脫落點之間的水平距離．
（4）如圖所示是在城際鐵路上用超聲波測速儀測量車速的示意圖，超聲波信號發射器和接收器在同一位置．通過發射器發出信號，信號與列車相遇時立即被反射回來，并被接收器接收，根據發出信號和接收到信號的時間差，可以測出列車的速度．某次測量中，t₀=0時發出超聲波信號P₁，t₁=0.6s時接收到反射信號；t₂=1.0s時發出信號P₂，t₃=1.2s接收到反射信號．超聲波在空氣中傳播的速度v=340m/s．由于測量時間很短，可認為在測量時間內列車的速度不變．求：
（1）信號P₁與列車相遇時，列車與測速儀之間的距離；
（2）這次測量中列車的速度．

Answer 1

分析：（1）建立坐標系，描點，再連線．
（2）v-t圖象的斜率等于加速度，圖象與坐標軸所圍面積表示位移，根據數學知識求解加速度和位移．
（3）小物體從列車的頂板上脫落后做平拋運動，根據平拋運動和勻減速運動的規律求出小物體的水平位移和列車的位移，兩者之差等于小物體在地板上的落點與在頂板上的脫落點之間的水平距離．
（4）由題意可知，P₁、P₂的時間間隔為1.0秒，根據聲音往返的特點，確定兩個信號P₁和P₂傳到列車的時間，從而可以求出超聲波前后兩次從測速儀到列車所用的時間，結合聲速，進而可以求出前后兩次汽車到測速儀之間的距離，即可求出車速．

解答：解：（1）作出小車運動的v-t圖象如圖所示．
（2）根據v-t圖象的斜率等于加速度，則得列車在0至400s內的加速度大小是a=

80

400

m/s²=0.2m/s²
根據v-t圖象與坐標軸所圍面積表示位移，則得列車在整個運動過程中運動的距離約為s=

700+1700

2

×100m=120000m=120km
（3）依題意知，當物體脫離頂板后，由于慣性，仍具有沿列車前進方向的水平速度，設為v₀．小物體脫離頂板后做平拋運動，列車做勻減速直線運動．    對于小物體：
豎直方向有：h=

1

2

gt2
  水平方向有：x₁=v₀t，
列車的水平位移為x₂=v₀t-

1

2

at2
故小物體在地板上落點與在頂板上脫落點之間的水平距離
   x=x₁-x₂=

a

g

h=0.05m
（4）、（1）由題意，t₀=0時發出超聲波信號P₁，t₁=0.6s時接收到反射信號信號P1，超聲波經0.6s往返一次，所以傳到列車所用時間為t₄=0.3s，則列車距測速儀的距離為
   d₁=vt₄=340×0.3m=102m
（2）P₂信號經1.2s-1.0s=0.2s往返一次，所以傳播時間為t₂=0.1s
在1.1s時遇到列車，列車距測速儀的距離為
   d₂=vt₂=340×0.1m=34m
列車前進距離S=d₁-d₂=102m-34m=68m
前進所用時間 t=1.1s-0.3s=0.8s
故列車的速度v=

s

t

=68/0.8=85m/s
故答案為：
（1）如圖所示．
（2）0.2，120．
（3）小物體在地板上的落點與在頂板上的脫落點之間的水平距離是0.05m
（4）、（1）信號P₁與列車相遇時，列車與測速儀之間的距離是102m；
（2）這次測量中列車的速度是85m/s．

點評：本題要掌握速度的物理意義：斜率等于加速度，“面積”等于位移．對于兩個物體的運動，關鍵確定它們之間的關系．對于超聲波測速這種問題，確定聲音傳播的時間是本題的難點，要注意緊扣聲音往返的特點，然后找出相關物理量才是解答本題的關鍵．