Question

如圖所示，圓心為原點、半徑為R的圓將xoy平面分為兩個區域，即圓內區域Ⅰ和圓外區域Ⅱ．區域Ⅰ內有方向垂直于xoy平面的勻強磁場B．平行于x軸的熒光屏垂直于xoy平面，放置在直線y=-2R的位置．一束質量為m、電荷量為q、速度為v₀的帶正電粒子從坐標為（-R，0）的A點沿x軸正方向射入區域Ⅰ，粒子全部垂直打在熒光屏上坐標為（0，-2R）的M點．若區域Ⅱ中加上平行于x軸的勻強電場，從A點沿x軸正方向以速度2v₀射入區域Ⅰ的粒子垂直打在熒光屏上的N點．不考慮重力作用，求：
（1）在區域Ⅰ中磁感應強度B的大小和方向．
（2）在區域Ⅱ中電場的場強為多大？MN兩點間距離是多少？

Answer 1

分析：帶電粒子在磁場中受到洛倫茲力作用下做勻速圓周運動，洛倫茲力始終與速度相垂直，由于洛倫茲力不做功，所以動能不變．帶電粒子在磁場中運動，由左手定則可判定洛倫茲力方向．從而可根據運動軌跡來確定洛倫茲力的方向，最終能得出磁感應強度大小與方向．
當粒子垂直射入勻強電場時，粒子做類平拋運動，從而利用平拋運動規律來解題．由軌跡的幾何關系可以得到MN的間距．

解答：解：
（1）如圖1所示，粒子在區域Ⅰ中運動四分之一圓周后，從C點沿y軸負方向打在M點，軌跡圓心是O₁點，半徑為    r₁=R    
 由洛倫茲力充當向心力得：qv0B=m

v02

r1

 解得：B=

mv0

qR

    
由帶正電粒子向下偏轉，由左手定則可知，B方向為垂直xoy平面向外
（2）當2v₀速度射入，粒子在區域Ⅰ中作圓周運動半徑為2R，其運動軌跡如圖
由右圖2及幾何關系可知：OO2=

5

R
sinθ=

5

5

 
cosθ=

2 5

5

sin2θ=2sinθcosθ=

4

5

   
所以    cos2θ=

3

5

      
OD=Rsin2θ=

4R

5

粒子進入電場后沿y軸方向做勻速直線運動，則時間t為
t=

2R-OD

2v0sin2θ

=

6 5 R

8v0 5

=

3R

4v0

   
粒子在x軸方向做勻減速直線運動，則：
   a=

2v0cos2θ

t

              
又：qE=ma
聯立得：E=

8mv02

5qR

                  
 MN=MF+FN=Rcos2θ+

2v0cos2θ

2

t=

21

20

R      
答：
（1）在區域Ⅰ中磁感應強度B的大小為B=

mv0

qR

，方向為垂直xoy平面向外．
（2）在區域Ⅱ中電場的場強為E=

8mv02

5qR

，MN兩點間距離是

21

20

R

點評：帶電粒子在磁場中做勻速圓周運動，處理時注意：定圓心、畫軌跡、求半徑；而在電場中做類平拋運動，處理時：電場強度方向做勻加速直線運動，垂直電場強度方向做勻速直線運動．