Question

20．如圖所示，虛線框內為某種電磁緩沖車的結構示意圖，其主要部件為緩沖滑塊 K和質量為m的緩沖車廂．在緩沖車的底板上，沿車的軸線固定著兩個光滑水平絕緣導軌PQ、MN．緩沖車的底部，安裝電磁鐵（圖中未畫出），能產生垂直于導軌平面的勻強磁場，磁場的磁感應強度為B．導軌內的緩沖滑塊K由高強度絕緣材料制成，滑塊K上繞有閉合矩形線圈abcd，線圈的總電阻為R，匝數為n，ab邊長為L．假設緩沖車以速度v₀與障礙物C碰撞后，滑塊K立即停下，此后線圈與軌道的磁場作用力使緩沖車廂減速運動，從而實現緩沖，一切摩擦阻力不計．
（1）求滑塊K的線圈中最大感應電動勢的大小；
（2）若緩沖車廂向前移動距離L后速度為零，則此過程線圈abcd中通過的電量和產生的焦耳熱各是多少？
（3）若緩沖車以某一速度v₀′（未知）與障礙物C碰撞后，滑塊K立即停下，緩沖車廂所受的最大水平磁場力為F_m．緩沖車在滑塊K停下后，其速度v隨位移x的變化規律滿足：v=v₀′-$\frac{{n}^{2}{B}^{2}{L}^{2}}{mR}x$．要使導軌右端不碰到障礙物，則緩沖車與障礙物C碰撞前，導軌右端與滑塊K的cd邊距離至少多大？

Answer 1

分析 （1）緩沖車以速度v₀與障礙物C碰撞后，滑塊相對磁場的速度大小為v₀，此時線框中產生的感應電動勢最大，由公式E_m=nBLv₀求出最大感應電熱勢．
（2）根據法拉第電磁感應定律、歐姆定律和電流的定義式結合求電量．緩沖車廂向前移動距離L后速度為零，緩沖車廂的動能全部轉化為內能，根據能量守恒求線圈中產生的熱量；
（3）根據法拉第電磁感應定律、歐姆定律和安培力公式得到緩沖車廂所受的最大水平磁場力F_m與v₀′的關系式，根據題意可知：v=v₀′-$\frac{{n}^{2}{B}^{2}{L}^{2}}{mR}x$，當v=0時，求出x．

解答 解：（1）緩沖車以速度v₀與障礙物C碰撞后，滑塊K立即停下，
滑塊相對磁場的速度大小為v₀，線圈中產生的感應電動勢最大，則有E_m=nBLv₀．
（2）由法拉第電磁感應定律得：E=n$\frac{△Φ}{△t}$=n$\frac{B{L}^{2}}{△t}$，
由歐姆定律得：I=$\frac{E}{R}$，電荷量：q=I△t，
解得，此過程線圈abcd中通過的電量：q=n$\frac{B{L}^{2}}{R}$．
由功能關系得：線圈產生的焦耳熱為Q=$\frac{1}{2}$mv₀²，
（3）若緩沖車以某一速度v₀′與障礙物C碰撞后，滑塊K立即停下，
滑塊相對磁場的速度大小為v₀′，線圈中產生的感應電動勢 E=nBLv₀′，
線圈中感應電流：I=$\frac{E}{R}$，
線圈ab邊受到的安培力：F=nBIL
依題意有F=F_m．解得：v₀′=$\frac{{F}_{m}R}{{n}^{2}{B}^{2}{L}^{2}}$，
由題意知：v=v₀′-$\frac{{n}^{2}{B}^{2}{L}^{2}}{mR}x$，
當v=0時，解得：x=$\frac{mF{R}^{2}}{{n}^{4}{B}^{4}{L}^{4}}$；
答：（1）滑塊K的線圈中最大感應電動勢的大小是nBLv₀；
（2）若緩沖車廂向前移動距離L后速度為零，則此過程線圈abcd中通過的電量和產生的焦耳熱分別是n$\frac{B{L}^{2}}{R}$和$\frac{1}{2}$mv₀²．
（3）緩沖車與障礙物C碰撞前，導軌右端與滑塊K的cd邊距離至少為$\frac{mF{R}^{2}}{{n}^{4}{B}^{4}{L}^{4}}$．

點評 本題考查學生分析和理解科技成果的能力，運用電磁感應、電路及力學的基本規律進行分析．