Question

在如圖所示xoy坐標系第一象限的三角形區域（坐標如圖中所標注）內有垂直于紙面向外的勻強磁場，在x 軸下方有沿＋y方向的勻強電場，電場強度為E。將一個質量為m、帶電量為+q的粒子（重力不計）從P（－a，0）點由靜止釋放。由于x軸上存在一種特殊物質，使粒子每經過一次x軸后速度大小變為穿過前的倍。

（1）欲使粒子能夠再次經過x軸，磁場的磁感應強度B₀最小是多少？

（2）在磁感應強度等于第（1）問中B₀的情況下，求粒子在磁場中的運動時間；

（3）若磁場的磁感應強度變為第（1）問中B₀的2倍，求粒子運動的總路程。

Answer 1

⑴設粒子到O點時的速度為v₀，由動能定理有

 解得（1分）

粒子經過O點后，速度為v₁，（1分）

如圖甲所示，粒子進入磁場后的軌跡圓與磁場邊界相切時，磁感應強度最小為B₀。設粒子軌道半徑為R₁，有（1分）

由得   （2分）

⑵如圖甲，粒子經O₁點進入電場區域做勻減速運動，后又加速返回，再次進入磁場時的速率（1分）

此時粒子做圓周運動的半徑（1分）

其運動軌跡如圖甲所示，此后不再進入磁場。由幾何

關系可知，

則粒子在磁場中運動的時間為

（3分）

⑶若B=2B₀，粒子的運動情況如圖乙所示，粒子經過O

點第一次進入磁場時的速率仍為v₁，在磁場中做圓

周運動的半徑記為，由第⑴問可知，，（1分）

粒子從O₁點穿過x軸進入電場時速率為，運動到P₁點后返回，則由動能定理

   解得  　（1分）

當粒子第二次進入磁場時的速率

做圓周運動的半徑為　（1分）

粒子從O₂點穿過x軸進入電場時速率為，

運動到P₂點后返回，則由動能定理  

解得  　（1分）

…………

依此類推可知，當粒子第n次進入磁場時，其在磁場中做圓周運動的軌道半徑為，再進入電場中前進的距離　（1分）

因此，粒子運動的總路程為

==　（1分）