Question

4．均勻半圓形金屬拱架ABC的圓心在O點，質量M=1000kg，A端用鉸鏈連接，B端放在滾珠上，有一質量m=500kg的物體從最高點C無摩擦地滑下，如圖所示，求當物體滑到D點時（∠COD=30°），A、B兩支點對拱架的作用力．

Answer 1

分析 對CD過程根據機械能守恒定律進行分析求解D點的速度，再根據向心力公式求出D點受到的作用力，再對支架分析，以A為支點求出B點的作用力；再對A分析，分別對水平和豎直兩個方向列出平衡方程求解．

解答 解：對CD過程由機械能守恒定律可得：
mgR（1-cos30°）=$\frac{1}{2}$mv²
根據向心力公式可得：
mgcos30°-F=m$\frac{{v}^{2}}{R}$
聯立解得N點的支持力為：F=$\frac{3\sqrt{3}-4}{2}$mg
由牛頓第三定律可得D點拱架受到的力為：F'=$\frac{3\sqrt{3}-4}{2}$mg；
對拱架分析，以A為轉軸，根據力矩平衡條件可得：
N_B•2R=MgR+F′Rcos30°
解得：N_B=6295N；方向豎直向上；
對拱架以B為轉軸，則應有：
N_Ax=F′_x=F′sin30°
解得：N_Ax=1495N；
N_Ay=Mg+F′_y-F'
N_Ay=6295N
則根據力的合成可知：
N_A=$\sqrt{{N}_{Ax}+{N}_{Ay}}$
聯立解得：N_A=6470N；
tanθ=$\frac{{N}_{Ax}}{{N}_{Ay}}$=$\frac{1495}{6295}$=0.24；
答：A支點對拱架的作用力分別為6470N，方向與水平方向夾角的正切值為0.24； B支點的作用力為6295N，方向豎直向上．

點評 本題考查力矩平衡以及共點力的平衡問題的分析，要注意明確在求B點時應用力矩平衡，而由于A點為鉸鏈，故不能利用力矩平衡，只能根據水平和豎直兩個廣告上的平衡條件列式求解．