Question

如圖，在傾角為θ＝30°的足夠長的光滑絕緣斜面上，帶正電的物塊A和不帶電絕緣物塊B相距2L。mA=3mB，物塊A位于斜面底端，斜面處于范圍足夠大、方向平行斜面向上的勻強電場中。將A、B同時由靜止釋放，兩物塊恰好在AB中點處發生第一次碰撞， A、B碰撞過程相互作用時間極短，已知A、B碰撞過程無機械能損失，且A的電荷沒有轉移，A、B均可視為質點，重力加速度為g。求： 

（1）第一次相碰前瞬間A、B的速度大小；

（2）第一次碰撞后，第二次碰撞前，A、B之間的最大距離； 

（3）若斜面長度有限，要使A、B僅能在斜面上發生兩次碰撞，試求斜面長度的范圍。

      

Answer 1

 ( 1 )對B由動能定理有：mB gLsinθ= mB v02   ……………………………………………………………2分

v0=

A、B的速度大小均為：       ………………… …………………………………………………………………2分

(2)選平行斜面向上，對第一次碰撞有：

mA v0 – mB v0= mA v1 +mB v2…………………………………………………………………1分

mAv02+ mBv02=mAv12+mBv22………………………………………………………  1分

解得：v1 =0，v2=2………………………………………………………  2分

撞后： A勻加速，B勻減速。加速度大小相等

由mBgsinθ= mB a有：      a = g………………………………………………………………………………  1分

設A、B第二次碰撞前距離為Δx1，有:

Δx1 = xB – xA = v2t – at2– at2………………………………………………………………………………  1分

當t =  = 2 時，Δx1有最大值2L……………………………………………………………………  1分

(3) 當Δx1=0時，A、B第二次碰撞，此時t = t1=

vA = at =2，vB=v2– at =0…………………………………………………………  1分

對第二次碰撞有：

mAvA+mBvB = mA v3 +mB v4……………………………………………………………  1分

mAvA 2+ mBvB2=mAv32+mBv42…………………………………………………………………  1分

解得：v3 =，v4=3…………………………………………………………… 1分

設A、B第三次碰撞前距離為Δx2，有:

Δx2 = xB – xA = v4t – at2 – (v3t+ at2)

當Δx2=0時，A、B即將第三次碰撞，此時t = t2=………………………………………………  1分

所以斜面的最小長度：xmin = L+ v2 t1– a t12    ……………………………………………………………  1分

xmin = 5L             ……………………………………………………………  1分

所以斜面的最大長度：xmax = L+ v2 t1– a t12+ v4 t2– a t22…………………………………………  1分

xmax = 13L            ……………………………………………………………  1分