Question

如圖所示,勁度系數為k=200 N/m的輕彈簧一端固體在墻上,另一端連接一質量為M=8 kg的小車a,開始時小車靜止,其左端位于O點,彈簧沒有發生形變.質量為m=1 kg的小物塊b靜止于小車的左側,距O點s=3 m,小車與水平面間的摩擦不計,小物塊與水平面間的動摩擦因數為μ=0.2,取g=10 m/s².今對小物塊施加大小為F=8 N的水平恒力使之向右運動,并在與小車發生碰撞前的瞬間撤去該力,碰撞后小車做振幅為A=?0.2 m的簡諧運動.已知小車做簡諧運動周期公式為T=2π,彈簧的彈性勢能公式為E_p=kx²(x為彈簧的形變量),則:

(1)小物塊與小車碰撞前瞬間的速度是多大?

(2)小車做簡諧運動過程中彈簧最大彈性勢能是多少?小車的最大速度為多大?

(3)小物塊最終停在距O點多遠處?當小物塊剛停下時小車左端運動到O點的哪一側?

Answer 1

解析:(1)設碰撞前瞬間,小物塊b的速度為v₁

小物塊從靜止開始運動到剛要與小車發生碰撞的過程中,根據動能定理可知

Fs-μmgs=mv₁²                                                              ①

解得v₁=6 m/s.                                                                 ②

(2)由于小車簡諧運動的振幅是0.2 m,所以彈簧的最大形變量為x=A=0.2 m

根據彈性勢能的表達式可知最大彈性勢能E_pm=kA²                               ③

解得E_pm=4 J                                                                  ④

根據機械能守恒定律可知小車的最大動能應等于彈簧的最大彈性勢能,

所以kA²=Mv_m²                                                           ⑤

解得小車的最大速度v_m=1 m/s.                                                  ⑥

(3)小物塊b與小車a碰撞后,小車a的速度為v_m,設此時小物塊的速度為v₁′,設向右為正方向,由動量守恒定律有mv₁=mv₁′+Mv_m                                               ⑦

解得v₁′=-2 m/s                                                                ⑧

接著小物塊b向左做勻減速運動一直到停止,設位移是s₁,所經歷的時間為t₁,根據動能定理可知-μmgs₁=0-mv₁′²                                                           ⑨

解得s₁=1 m                                                                   ⑩

物塊做減速運動時的加速度為a==μg=2 m/s^{2                                                  11}

t₁==1 s                                                               12

小車a振動的周期T=2π≈1.26 s                                       13

由于T>t₁>T,所以小車a在小物塊停止時在O點的左側，并向右運動.              14