Question

如圖所示的豎直平面內有范圍足夠大、水平向左的勻強電場，在虛線的左側有垂直紙面向里的勻強磁場，磁感應強度大小為B．一絕緣?形管桿由兩段直桿和一半徑為R的半圓環組成，固定在紙面所在的豎直平面內．PQ、MN水平且足夠長，半圓環MAP在磁場邊界左側，P、M點在磁場界線上，NMAP段是光滑的，現有一質量為m、帶電量為+q的小環套在MN桿，它所受到的電場力為重力的

1

2

倍．現在M右側D點靜止釋放小環，小環剛好能到達P點，
（1）求DM間的距離x₀．
（2）求上述過程中小環第一次通過與O等高的A點時彎桿對小環作用力的大小．
（3）若小環與PQ間的動摩擦因數為μ（設最大靜止摩擦力與滑動摩擦力大小相等）．現將小環移至M點右側6R處由靜止開始釋放，求小環在整個運動過程中克服摩擦力所做的功．

Answer 1

分析：（1）對D到P為研究過程，運用動能定理求出DM間的距離．
（2）對D到A為研究過程，運用動能定理求出A點的速度，根據牛頓第二定律，沿半徑方向上合力提供向心力，求出彎桿對小環作用力的大�。�
（3）需討論摩擦力的大小與電場力的大小關系，若摩擦力大于電場力，則運動到P點右側停止；若摩擦力小于電場力，則環最終在DP間往復運動．根據動能定理求出摩擦力做的功．

解答：解：（1）由動能定理qEx₀-2mgR=0
qE=

1

2

mg
∴x₀=4R
故DM間的距離為4R．
（2）設小環在A點速度v_A
由動能定理qE（x₀+R）-mgR=

1

2

mv_A²
vA=

3gR

由向心力公式：N-qvAB-qE=m

v 2 A

R

N=

7

2

mg+qB

3gR

故彎桿對小環作用力的大小N=

7

2

mg+qB

3gR

．
（3）若μmg≥qE即μ≥

1

2

小環達P點右側S₁處靜止
qE（6R-S₁）-mg?2R-μmgS₁=0
S1=

2R

1+2μ

∴W=μmgS1=

2μmgR

1+2μ

若μmg＜qE即μ＜

1

2

，環經過往復運動，最后只能在PD之間運動，設克服摩擦力為W
則：qE?6R-mg?2R-W=0
∴W=mgR
故小環在整個運動過程中克服摩擦力所做的功為

2μmgR

1+2μ

或mgR．

點評：運用動能定理解題需合適地選取研究的過程，根據動能定理列出表達式求解．