Question

如圖所示，在xoy坐標(biāo)系中分布著四個(gè)有界場(chǎng)區(qū)，在第三象限的AC左下方存在垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)B₁=0.5T，AC是直線(xiàn)y = －x－0.425（單位：m）。在第三象限的部分，另一沿y軸負(fù)向的勻強(qiáng)電場(chǎng)左下邊界也為線(xiàn)段AC的一部分，右邊界為y軸，上邊界是滿(mǎn)足y= －10x²－x－0.025（單位：m）的拋物線(xiàn)的一部分，電場(chǎng)強(qiáng)度E=2.5N/C。在第二象限有一半徑為r=0.1m的圓形磁場(chǎng)區(qū)域，磁感應(yīng)強(qiáng)度B₂=1T，方向垂直紙面向里，該區(qū)域同時(shí)與x軸、y軸相切，切點(diǎn)分別為D、F，在第一象限的整個(gè)空間存在垂直紙面向外的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度B₃=1T，另有一厚度不計(jì)的擋板PQ垂直紙面放置，其下端坐標(biāo)P（0.1m,0.1m），上端Q在y軸上，且

∠PQF=30°現(xiàn)有大量m=1×10^-6kg，q= －2×10^-4C的粒子（重力不計(jì)）同時(shí)從A點(diǎn)沿x軸負(fù)向以v₀射入，且v₀取0<v₀<20m/s之間的一系列連續(xù)值，并假設(shè)任一速度的粒子數(shù)占入射粒子總數(shù)的比例相同。

　 （1）求所有粒子從第三象限穿越x軸時(shí)的速度；

　 （2）設(shè)從A點(diǎn)發(fā)出的粒子總數(shù)為N，求最終打在擋板PQ右側(cè)的粒子數(shù)N'．

Answer 1

解：

   （1）設(shè)某速度為的粒子從A點(diǎn)入射后到達(dá)AC上的G點(diǎn)，因與AC成45⁰角，其對(duì)應(yīng)圓心角為90⁰，即恰好經(jīng)過(guò)四分之一圓周，故到達(dá)G點(diǎn)時(shí)速度仍為，方向沿Y軸正向.----------------(２分)

   粒子在電場(chǎng)中沿Y軸正向加速運(yùn)動(dòng)，設(shè)G點(diǎn)坐標(biāo)為G（x，y），剛好穿出電場(chǎng)時(shí)坐標(biāo)為（x，），粒子穿出電場(chǎng)時(shí)速度為，在電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，由動(dòng)能定理得：

---------------------------------------------------------------- (2分)

而        

又---------------------------------------------------------------------------(2分)

代入數(shù)據(jù)解得，可見(jiàn)粒子穿出電場(chǎng)時(shí)速度大小與x無(wú)關(guān)。---------(3分) 

因，由

代入數(shù)據(jù)得：----------------------------------------------------------------------(1分)

由數(shù)學(xué)知識(shí)可知，k點(diǎn)坐標(biāo)為k(-0.2m，-0.225m)，故從A點(diǎn)射出的所有粒子均從AK之間以20m/s的速度沿Y軸正向射出電場(chǎng)，在到達(dá)X軸之前粒子作勻速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)，故所有粒子從第三象限穿越X軸時(shí)的速度大小均為20m/s的速度沿Y軸正向。---------------------------------------------------(1分)

   （2）因?yàn)?sub>，故離子束射入時(shí)，離子束寬度剛好與2相等，設(shè)粒子在中運(yùn)動(dòng)軌道半徑為

，解得=---------------------------------------------------(１分)

考察從任一點(diǎn)J進(jìn)入的粒子，設(shè)從H穿出磁場(chǎng)，四邊形為菱形，又因?yàn)?sub> 水平，而，故H應(yīng)與F重合，即所有粒子經(jīng)過(guò)后全部從F點(diǎn)離開(kāi)進(jìn)入磁場(chǎng)。對(duì)趨于的粒子，圓心角∠，故射入時(shí)速度趨于Ｙ軸負(fù)向；對(duì)趨于０的粒子，圓心角∠，故射入時(shí)速度趨于Ｙ軸正向，即進(jìn)入的所有粒子速度與Y軸正向夾角在0~180⁰之間。-----------------------(４分)

由于=，所以，由幾何關(guān)系知：

無(wú)限靠近Y軸負(fù)向射入的粒子軌跡如圖所示，最終打在PQ板的右側(cè)；--- -----(1分）

與Y軸負(fù)向成60⁰角的粒子剛好經(jīng)過(guò)P點(diǎn)到達(dá)Q點(diǎn);------------------------- ----------- -(1分）

因此與Y軸正向在0~120⁰之間從F點(diǎn)射出的粒子要么打在PQ板的左側(cè)，要么打不到板上而穿越Y(jié)軸離開(kāi)。由于是“大量”粒子，忽略打在P或Q的臨界情況，所以最終打在擋板PQ右側(cè)的粒子數(shù)

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