Question

如圖6-8-23所示，兩根細繩AC、BC系一個質量為0.1 kg的小球，繩AC長為l=2 m，兩繩都拉直時與豎直軸夾角分別為30°和45°.試分析小球隨豎直軸轉動的角速度ω在什么范圍內，兩繩始終拉緊？當ω=3 rad/s時,兩繩拉力各為多大？取g=10 m/s².

圖6-8-23

Answer 1

解析：由題意可看出，當小球角速度很小時，小球離心趨勢小，只有繩AC拉緊，當小球角速度很大時，小球離心趨勢大，只有繩BC拉緊，此兩種情況小球所需向心力.

    由兩繩拉力分別與重力的合力提供，據牛頓第二定律與圓周運動知識可求得角速度的最小值與最大值，從而確定兩繩同時拉緊的角速度范圍.當ω=3 rad/s時，首先判斷是那根繩子拉緊或者是同時拉緊，進而判斷向心力來源，據牛頓第二定律與圓周運動知識列方程求得兩繩拉力.

    兩繩張緊時，小球受重力mg，AC繩拉力F₁和BC繩拉力F₂如圖所示.當角速度由0逐漸增大時，會出現兩種臨界情況.

（1）BC繩恰好拉直，F₂=0，此時角速度為ω₁，F₁和mg的合力提供小球在半徑r₁=lsin30°的圓周上運動所需向心力，mgtan30°=mrω₁²，聯立以上兩式且代入數據得ω₁=2.4 rad/s

    AC繩仍拉直，但F₁=0，此時角速度為ω₂，F₂和mg的合力提供向心力，mgtan45°=mr₂ω²，r₂=r₁=lsin30°,聯立解得ω₂=3.2 rad/s，要兩繩始終張緊，角速度的取值范圍為2.4 rad/s≤ω≤3.2 rad/s.

（2）當ω=3 rad/s時，F₁和F₂同時存在，對小球應用牛頓第二定律有：

    F₁sin30°+F₂sin45°=mlsin30°ω²,F₁cos30°+F₂cos45°-mg=0，兩式聯立且代入數據解得F₁=0.27 N,F₂=1.1 N.