Question

如圖（a）所示，間距為L電阻不計的光滑導軌固定在傾角為θ的斜面上．在區域I內有方向垂直于斜面的勻強磁場，磁感應強度恒為B不變；在區域Ⅱ內有垂直于斜面向下的勻強磁場，其磁感應強度B_t的大小隨時間t變化的規律如圖（b）所示．t=0時刻在軌道上端的金屬細棒ab從如圖位置由靜止開始沿導軌下滑，同時下端的另一金屬細棒cd在位于區域I內的導軌上也由靜止釋放．在ab棒運動到區域Ⅱ的下邊界EF之前，cd棒始終靜止不動，兩棒均與導軌接觸良好．又已知cd棒的質量為m，區域Ⅱ沿斜面的長度也是L，在t=t_x時刻（t_x未知）ab棒恰好進入區域Ⅱ，重力加速度為g．求：
（1）通過cd棒中的電流大小和區域I內磁場的方向
（2）ab棒開始下滑的位置離區域Ⅱ上邊界的距離s；
（3）ab棒從開始到下滑至EF的過程中，回路中產生的總熱量．（結果均用題中的已知量表示）

Answer 1

分析：（1）Ⅱ內磁場均勻變化，在回路中形成感應電流，根據楞次定律判斷出流過cd的電流方向，然后根據平衡求出cd棒所受安培力方向，進一步根據左手定則判斷磁場方向．根據導體棒處于平衡狀態可知，安培力等于重力沿導軌向下分力，由此可求出通過cd棒中的電流大小和方向．
（2）棒ab進入II區域前后回路中的電動勢不變，即磁場變化產生電動勢與導體切割磁感線產生電動勢相等，據此求出導體棒進入II時速度大小，然后根據導體棒勻加速下滑的特點即可求出結果．
（3）回路中電流恒定，根據Q=EIt可求出結果．

解答：解：（1）如圖所示，cd棒受到重力、支持力和安培力的作用而處于平衡狀態，由平衡條件得
   BIL=mgsinθ
解得，I=

mgsinθ

BL

可見，回路中感應電流和感應電動勢保持不變．
由楞次定律可知，流過cd的電流方向為從d到c，cd所受安培力沿導軌向上，故由左手定則可知，I內磁場垂直于斜面向上．故區域I內磁場的方向垂直于斜面向上．
（2）ab進入區域Ⅱ前做勻加速運動，進入后做勻速運動，設ab剛好到達區域Ⅱ的邊界的速度大小為v．
在0-t_x內，由法拉第電磁感應定律得
   E₁=

△Φ

△t

=

2B-B

tx

?L²=

BL2

tx

在t_x后：有E₂=BLv 
且 E₁=E₂           
解得：v=

L

tx

     
由s=

vtx

2

        
解得s=

L

2

故ab棒開始下滑的位置離區域Ⅱ上邊界的距離為

L

2

． 
（3）ab棒進入區域Ⅱ后，ab做勻速直線運動，且t₂=t_x，
在區域Ⅱ中由能量守恒知
回路中的產生的熱量為  Q₂=mgLsinθ，
由于Q₁=Q₂
得回路中的總熱量  Q=2mgLsinθ
答：
（1）通過cd棒中的電流大小是

mgsinθ

BL

，區域I內磁場的方向垂直于斜面向上．
（2）ab棒開始下滑的位置離區域Ⅱ上邊界的距離s是

L

2

；
（3）ab棒從開始到下滑至EF的過程中，回路中產生的總熱量是2mgLsinθ．

點評：解決這類問題的關鍵是弄清電路結構，正確分析電路中的電流以及安培力的變化情況．