Question

如圖所示，半徑R=0.2m的光滑四分之一圓軌道MN豎直固定放置，末端N與一長L=0.8m的水平傳送帶相切，水平銜接部分摩擦不計，傳動輪（輪半徑很小）作順時針轉動，帶動傳送帶以恒定的速度ν₀運動．傳送帶離地面的高度h=1.25m，其右側地面上有一直徑D=0.5m的圓形洞，洞口最左端的A點離傳送帶右端的水平距離S=1m，B點在洞口的最右端．現使質量為m=0.5kg的小物塊從M點由靜止開始釋放，經過傳送帶后做平拋運動，最終落入洞中，傳送帶與小物塊之間的動摩擦因數μ=0.5． g取10m/s²．求：
（1）小物塊到達圓軌道末端N時對軌道的壓力
（2）若ν₀=3m/s，求物塊在傳送帶上運動的時間
（3）若要使小物塊能落入洞中，求ν₀應滿足的條件．

Answer 1

（1）設物塊滑到圓軌道末端速度ν₁，根據機械能守恒定律得：
mgR=

1

2

mv12
設物塊在軌道末端所受支持力的大小為F，
根據牛頓第二定律得：F-mg=m

v12

R

聯立以上兩式代入數據得：F=15N        
根據牛頓第三定律，對軌道壓力大小為15N，方向豎直向下   
（2）物塊在傳送帶上加速運動時，由μmg=ma，得a=μg=5m/s²
加速到與傳送帶達到同速所需要的時間t1=

v0-v1

a

=0.2s    
位移s1=

v1+v0

2

t₁=0.5m  
勻速時間t2=

L-s1

v0

=0.1s   
故T=t₁+t₂=0.3s  
（3）物塊由傳送帶右端平拋h=

1

2

gt2
恰好落到A點   s=v₂t         得ν₂=2m/s    
恰好落到B點   D+s=ν₃t         得ν₃=3m/s     
故ν₀應滿足的條件是3m/s＞ν₀＞2m/s         
答：（1）小物塊到達圓軌道末端N時對軌道的壓力大小為15N，方向豎直向下；
（2）若ν₀=3m/s，求物塊在傳送帶上運動的時間為0.3s；
（3）若要使小物塊能落入洞中，ν₀應滿足的條件為3m/s＞ν₀＞2m/s．