Question

【題目】如圖所示為xOy平面直角坐標系，在x=a處有一平行于y軸的直線MN，在x=4a處放置一平行于y軸的熒光屏，熒光屏與x軸交點為Q，在第一象限內直線MN與熒光屏之間存在沿y軸負方向的勻強電場。原點O處放置一帶電粒子發射裝置，它可以連續不斷地發射同種初速度大小為v0的帶正電粒子，調節坐標原點處的帶電粒子發射裝置，使其在xOy平面內沿不同方向將帶電粒子射入第一象限（速度與x軸正方向間的夾角為0≤θ≤）。若在第一象限內直線MN的左側加一垂直xOy平面向外的勻強磁場，這些帶電粒子穿過該磁場后都能垂直進入電場。已知勻強磁場的磁感應強度大小為B，帶電粒子的比荷，電場強度大小E=Bv0，不計帶電粒子重力，求：

(1)粒子從發射到到達熒光屏的最長時間。

(2)符合條件的磁場區域的最小面積。

(3)粒子打到熒光屏上距Q點的最遠距離。

Answer 1

【答案】(1)；(2) ()a2；(3)a。

【解析】

(1)

由題意知，粒子在磁場中做勻速圓周運動，速度沿y軸正方向的粒子在磁場中運動的時間最長，此時粒子軌跡為圓，由圓周運動知

解得

則此時最長時間為

粒子進入電場到到達熒光屏，在x軸方向做勻速直線運動，運動時間為

故粒子從發射到到達熒光屏的最長時間

(2)帶電粒子在磁場內做勻速圓周運動，有

解得

由于帶電粒子的入射方向不同，若磁場充滿紙面，它們所對應的運動軌跡如圖所示.為使這些帶電粒子經磁場偏轉后都能垂直直線MN進入電場，由圖可知，它們必須從經O點做圓周運動的各圓的最高點飛離磁場.設磁場邊界上P點的坐標為（x，y），則應滿足方程

所以磁場邊界的方程為

以的角度射入磁場區域的粒子的運動軌跡即為所求磁場另一側的邊界，因此，符合題目要求的最小磁場的范圍應是圓與圓的交集部分（圖中陰影部分），由幾何關系，可以求得符合條件的磁場的最小面積為

(3)

帶電粒子在電場中做類平拋運動，分析可知所有粒子在熒光屏左側穿出電場，設粒子在電場中的運動時間為t，豎直方向的位移為y，水平方向的位移為l，則

聯立解得

設粒子最終打在熒光屏的最遠點距Q點為h，粒子射出電場時速度與x軸的夾角為α，則有

則當

時，即時，h有最大值。