Question

（14分）如圖所示，在x軸上方有一勻強磁場，磁感應強度的方向垂直于紙面向里，大小為B，x軸下方有一勻強電場，電場強度的大小為E，方向與y軸的夾角θ為45°且斜向上方。現有一質量為m電量為q的正離子，以速度v₀由y軸上的A點沿y軸正方向射入磁場，該離子在磁場中運動一段時間后從x軸上的C點進入電場區域，該離子經C點時的速度方向與x軸夾角為45°。不計離子的重力，設磁場區域和電場區域足夠大。求：

⑴C點的坐標；
⑵離子從A點出發到第三次穿越x軸時的運動時間；
⑶離子第四次穿越x軸時速度的大小及速度方向與電場方向的夾角。

Answer 1

⑴（，0）   ⑵  ⑶ 

試題分析：⑴帶電粒子在勻強磁場中在洛侖茲力作用下做勻速圓周運動，由牛頓第二定律得：
  解得：
粒子運動軌跡如圖所示，由幾何知識知，

x_C＝－（r＋rcos45⁰）＝ 
故C點坐標為（，0）
⑵帶電粒子在勻強磁場中在洛侖茲力作用下做勻速圓周運動的周期為 
設粒子從A到C的時間為t₁，由題意知粒子從A運動C，轉過225°角，則 
設粒子從進入電場到返回C的時間為t₂，其在電場中先做勻減速直線運動，速度減到零后做勻加速直線運動返回，由牛頓第二定律和運動學知識，有
 
  
聯立解得  
設粒子再次進入磁場后在磁場中運動的時間為t₃，由題意知第二次穿越x軸，進入磁場后，轉過90°后第三次穿越x軸進入電場，則 
故而，粒子從A點到第三次穿越x軸的時間為： 
⑶粒子從第三次過x軸到第四次過x軸的過程是在電場中做類似平拋的運動，即沿著v₀的方向（設為x′ 軸）做勻速運動，即
     ①        ②    
沿著qE的方向（設為y′軸）做初速為0的勻變速運動，即     ③
      ④
設離子第四次穿越x軸時速度的大小為v，速度方向與電場方向的夾角為α．
由圖中幾何關系知   ⑤，……⑥     ⑦
聯立①②③④⑤⑥⑦解得