Question

如圖所示：矩形區域MNPQ內有水平向右的勻強電場，虛線框外為真空區域；半徑為R、內壁光滑、內徑很小的絕緣半圓管ADB固定在豎直平面內，直徑AB垂直于水平虛線MN，圓心O為MN的中點，半圓管的一半處于電場中．一帶正電的小球從半圓管的A點由靜止開始滑入管內，小球可視為質點，質量為m，電量為q，當小球達到B點時，對管壁的壓力為F_N=3mg，重力加速度為g，求：
（1）勻強電場的電場強度E；
（2）若小球能從矩形框的右邊界NP離開電場，矩形區域MNPQ的最小面積S．

Answer 1

分析：（1）小球到達B點時由重力和軌道的支持力的合力提供向心力，根據牛頓第二定律列式求解B點速度；然后研究小球從A→B過程，根據動能定理列式求解電場強度；
（2）小球從B點滑出后，在水平方向先向左做勻減速直線運動，后向右做勻加速直線運動；豎直方向做自由落體運動；根據運動學公式列式分析即可．

解答：解：（1）設小球從B點滑出時的速度為v₀，小球過B點時，支持力和重力的合力提供向心力，根據牛頓第二定律，有：
F_N-mg=m

v 2 0

R

解得：
v₀=

2gR

A到B過程，由動能定理有：
2mgR-qER=

1

2

m_Bv₀²
解得：
E=

mg

q

（2）小球從B點滑出后，在水平方向做變速直線運動，豎直方向做自由落體運動
水平方向：a_x=

qE

m

=g
豎直方向：a_y=g
設向左減速時間為t₁，則有：
t1=

v0

ax

=

2R g

小球向左運動的最大距離：
x=

v0t1

2

=R
虛線框MNPQ的最小寬度：L=2R
設向左時間為t2，則有：
L=

1

2

ax

t

2 2

解得：
t2=2

R x

小球出電場時，下落的高度：
h=

1

2

ay(t1+t2)2=(3+2

2

)R
虛線框MNPQ高度應該滿足：H＞R+h
故虛線框MNPQ的最小面積：
S=H_minL=4（2+

2

）R²
答：（1）勻強電場的電場強度E為

mg

q

；（2）若小球能從矩形框的右邊界NP離開電場，矩形區域MNPQ的最小面積S為4（2+

2

）R²．

點評：本題關鍵明確粒子的運動，然后結合動能定理、牛頓第二定律、正交分解法、運動學公式列式求解；特別是第二問，通過分運動來研究合運動，不難．