Question

如圖所示，一輕彈簧豎直放置在地面上，輕彈簧下端與地面固定，上端連接一質量為M的水平鋼板，處于靜止狀態．現有一質量為 m 的小球從距鋼板 h=5m的高處自由下落并與鋼板發生碰撞，碰撞時間極短且無機械能損失．己知 M=3m，不計空氣阻力，g=10m/s²．
（ l ）求小球與鋼板第一次碰撞后瞬間，小球的速度 v₁和鋼板的速度 v₂．
（ 2 ）如果鋼板作簡諧運動的周期為 2.0s，以小球自由下落的瞬間為計時起點，以向下方向為正方向，在下圖中畫出小球的速度 v 隨時間 t 變化的v-t 圖線．要求至少畫出小球與鋼板發生四次碰撞之前的圖線．（不要求寫出計算過程，只按畫出的圖線給分）

Answer 1

分析：（1）小球與鋼板的碰撞時間且無機械能損失，是彈性碰撞，兩者的動量和機械能均守恒，根據兩大守恒定律列式，可求得第一次碰撞后瞬間小球的速度v₁和鋼板的速度v₂．
（2）根據第一次碰后，根據速度知道小球做豎直上拋運動，求出上拋運動的總時間，分析此時間與簡諧運動周期的關系，結合彈性碰撞的規律，分析此后小球的運動情況，作出v-t圖象．

解答：解：（1）設小球與鋼板第一次碰撞前瞬時的速度大小v₀，小球與鋼板第一次碰撞后，小球與鋼板的速度分別為v₁和v₂．取豎直向下方向為正方向．
由機械能守恒得：mgh=

1

2

mv

2 0

，解得，v₀=

2gh

=10m/s
對于碰撞過程，由動量守恒和機械能守恒得：
   mv₀=mv₁+Mv₂ ①
  

1

2

m

v

2 0

=

1

2

m

v

2 1

+

1

2

M

v

2 2

 ②
又M=3m  ③
聯立①②③得：v₁=-5m/s，v₂=5m/s，即小球與鋼板第一次碰撞后，小球的速度v₁為 5m/s，方向向上；鋼板的速度v₂為 5m/s 方向向下．
（ 2 ）由上知，第一碰撞后小球作豎直上拋運動，總時間為t₁=

2v1

g

=1s，而鋼板作簡諧運動的周期為T=2.0s，所以兩者會在第一碰撞位置發生第二碰撞．
設第二次碰撞后，小球與鋼板的速度分別為v₁′和v₂′．
由動量守恒和機械能守恒得：
   mv₁-Mv₂=mv₁′+Mv₂ ′
  

1

2

m

v

2 1

+

1

2

M

v

2 2

=

1

2

m

v

′2 1

+

1

2

M

v

′2 2

又M=3m
聯立以上三式解得，v₁′=-10m/s，v₂′=0．
此后小球豎直上拋運動，時間為t₂=

2v′

g

=2s=T，恰好經過2s后發生第三次碰撞，第三次碰撞與第一次碰撞相同．畫出小球的v-t圖線如下圖所示（小球與鋼板第二次碰撞后，小球的速度為 10m/s，方向向上；鋼板的速度為零）

答：
（1）小球與鋼板第一次碰撞后，小球的速度v₁為 5m/s，方向向上；鋼板的速度v₂為 5m/s 方向向下．
（2）小球的v-t圖線如圖所示．

點評：本題是含有彈性碰撞的復雜物理過程，分析每個過程遵守的物理規律是關鍵，抓住彈性碰撞的基本規律動量守恒和機械能守恒求碰后速度，結合豎直上拋運動的規律進行分析和研究，綜合性很強．