Question

如圖a所示，間距為d的平行金屬板MN與一對光滑的平行導軌相連，平行導軌間距L=d/2，一根導體棒ab以一定的初速度向右勻速運動，棒的右端存在一個垂直紙面向里，大小為B的勻強磁場。棒進入磁場的同時，粒子源P釋放一個初速度為0的帶電粒子，已知帶電粒子質量為m，電量為q。粒子能從N板加速到M板，并從M板上的一個小孔穿出。在板的上方，有一個環形區域內存在大小也為B，垂直紙面向外的勻強磁場。已知外圓半徑為2d，里圓半徑為d，兩圓的圓心與小孔重合。（粒子重力不計）
（1）判斷帶電粒子的正負，并求當ab棒的速度為v₀時，粒子到達M板的速度v；
（2）若要求粒子不能從外圓邊界飛出，則v₀的取值范圍是多少？
（3）若棒ab的速度v₀只能是，則為使粒子不從外圓飛出，則可以控制導軌區域磁場的寬度S（如圖b所示），那該磁場寬度S應控制在多少范圍內？

     

Answer 1

解：（1）根據右手定則知，a端為正極，故帶電粒子必須帶負電
Ab棒切割磁感線，產生的電動勢
對于粒子，據動能定理：
聯立(1)(2)兩式，可得
（2）要使粒子不從外邊界飛出，則粒子最大半徑時的軌跡與外圓相切

根據幾何關系：  
即
而
聯立(3)(4)(5)可得
故ab棒的速度范圍：
（3），故如果讓粒子在MN間一直加速，則必然會從外圓飛出，所以如果能夠讓粒子在MN間只加速一部分距離，然后再勻速走完剩下的距離，就可以讓粒子的速度變小了
故：粒子在MN間的加速距離為
而
解得：
對于棒ab：  
故磁場的寬度應