Question

8．經過近7年時間，2億千米在太空中穿行后，美航天局和歐航天局合作研究出“卡西尼”號土星探測器于美國東部時間6月30日抵達預定軌道，開始“拜訪”土星及其衛星家族．這是人類首次針對土星及其31顆已知衛星最詳盡的探測．若“卡西尼”號土星探測器進入環繞土星上空的圓軌道飛行，已知土星半徑為R，探測器離土星表面高度為h，環繞n周飛行時間為t，求：
（1）土星的質量M；
（2）若在土星上發射一顆衛星，至少需要多大的速度？

Answer 1

分析 （1）探測器繞土星飛行，環繞n周飛行時間為t，求出探測器運行的周期．由土星的萬有引力提供探測器的向心力列方程求出土星的質量．
（2）“卡西尼”繞土星表面勻速圓周運動時，根據萬有引力提供向心力G$\frac{{M}_{土}m}{{R}^{2}}$=m$\frac{{v}^{2}}{R}$，化簡可得土星衛星的最小速度．

解答 解：（1）根據萬有引力提供向心力為：
G$\frac{{M}_{土}m}{（R+h）^{2}}$=m$\frac{4{π}^{2}}{（\frac{t}{n}）^{2}}$（R+h）
解得：M_土=$\frac{4{π}^{2}{n}^{2}（R+h）^{3}}{G{t}^{2}}$；
（2）“卡西尼”繞土星表面勻速圓周運動：G$\frac{{M}_{土}m}{{R}^{2}}$=m$\frac{{v}^{2}}{R}$，
所以最小速度：v=$\sqrt{\frac{4{π}^{2}{n}^{2}（R+h）^{3}}{R{t}^{2}}}$；
答：（1）土星的質量為$\frac{4{π}^{2}{n}^{2}（R+h）^{3}}{G{t}^{2}}$．
（2）若在土星上發射一顆衛星，至少需要的速度為$\sqrt{\frac{4{π}^{2}{n}^{2}（R+h）^{3}}{R{t}^{2}}}$．

點評 本題題目看似很長，要耐心讀題，抓住要點，建立物理模型：探測器繞土星做勻速圓周運動，土星的萬有引力提供向心力．