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16.一轉動裝置如圖所示,四根輕桿OA、OC、AB和CB與兩小球以及一小環通過鉸鏈連接,輕桿長均為l,球和環的質量均為m,O端固定在豎直的輕質轉軸上,套在轉軸上的輕質彈簧連接在O與小環之間,原長為L,裝置靜止時,彈簧長為$\frac{3}{2}$L,轉動該裝置并緩慢增大轉速,小環緩慢上升.彈簧始終在彈性限度內,忽略一切摩擦和空氣阻力,重力加速度為g,求:
(1)彈簧的勁度系數k;
(2)AB桿中彈力為零時,裝置轉動的角速度ω0

分析 (1)裝置靜止時,分別對小環和小球分析,根據共點力平衡,結合胡克定律求出彈簧的勁度系數;
(2)當AB桿彈力為零時,對小環分析,根據共點力平衡和胡克定律求出彈簧的長度,對小球分析,抓住豎直方向上合力為零,水平方向上的合力提供向心力,根據牛頓第二定律求出裝置轉動的角速度ω0

解答 解:(1)裝置靜止時,設OA、AB桿中的彈力分別為F1、T1,OA桿與轉軸的夾角為θ1
小環受到彈簧的彈力${F_{彈1}}=k•\frac{L}{2}$,
小環受力平衡:F彈1=mg+2T1cosθ1,
小球受力平衡:F1cosθ1+T1cosθ1-mg=0;F1sinθ1-T1sinθ1=0,
解得:$k=\frac{4mg}{L}$
(2)設OA、AB桿中的彈力分別為F2、T2,OA桿與轉軸的夾角為θ2,彈簧長度為x.
小環受到彈簧的彈力:F彈2=k(x-L)
小環受力平衡:F彈2=mg,
得:$x=\frac{5}{4}L$
對小球:F2cosθ2=mg; 
${F_2}sin{θ_2}=mω_0^2lsin{θ_2}$;
$cosθ{\;}_2=\frac{x}{2l}$
解得:${ω_0}=\sqrt{\frac{8g}{5L}}$
答:(1)彈簧的勁度系數k為$\frac{4mg}{L}$;
(2)AB桿中彈力為零時,裝置轉動的角速度ω0為$\sqrt{\frac{8g}{5L}}$.

點評 本題綜合考查了動能定理、牛頓第二定律、共點力平衡和胡克定律的運用,當裝置轉動時,抓住小環平衡,小球在豎直方向上平衡,水平方向上的合力提供向心力進行求解.

練習冊系列答案
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