Question

目前，滑板運動受到青少年的追捧．如圖是某滑板運動員在一次表演時的一部分賽道在豎直平面內的示意圖，賽道光滑，FGI為圓弧賽道，半徑R=6.5m，G為最低點并與水平賽道BC位于同一水平面，KA、DE平臺的高度都為h=18m．B、C、F處平滑連接．滑板a和b的質量均為m，m=5kg，運動員質量為M，M=45kg．表演開始，運動員站在滑板b上，先讓滑板a從A點靜止下滑，t₁=0.1s后再與b板一起從A點靜止下滑．滑上BC賽道后，運動員從b板跳到同方向運動的a板上，在空中運動的時間t₂=0.6s．（水平方向是勻速運動）．運動員與a板一起沿CD賽道上滑后沖出賽道，落在EF賽道的P點，沿賽道滑行，經過G點時，運動員受到的支持力N=742.5N．（滑板和運動員的所有運動都在同一豎直平面內，計算時滑板和運動員都看作質點，取g=10m/s²）



（1）滑到G點時，運動員的速度是多大？
（2）運動員跳上滑板a后，在BC賽道上與滑板a共同運動的速度是多大？
（3）從表演開始到運動員滑至I的過程中，系統的機械能改變了多少？

Answer 1

（1）在G點，運動員和滑板一起做圓周運動，設向心加速度為a_n，速度為v_G，運動員受到重力Mg、滑板對運動員的支持力N的作用，則：N-Mg=Ma_n
加速度an=

v 2G

R

則由牛頓第二定律可得：N-Mg=

M v 2G

R

解得G點時的速度vG=

R(N-Mg) M

解得：v_G=6.5m/s
G點時運動員的速度為6.5m/s；
（2）設滑板由A點靜止下滑到BC賽道后速度為v₁，由機械能守恒定律有：mgh=

1

2

m

v

21

解得：v1=

2gh1

運動員與滑板一起由A點靜止下滑到BC賽道后，速度也為v₁，運動員由滑板b跳到滑板a，設蹬離滑板b時的水平速度為v₂，在空中飛行的水平位移為s，則：
s=v₂t₂
設起跳時滑板a與滑板b的水平距離為s₀，則：
s₀=v_lt_l
設滑板在t₂時間內的位移為s₁，則：
s₁=v₁t₂
s=s₀+s₁
即：v₂t₂=v₁（t₁+t₂）
運動員落到滑板a后，與滑板a共同運動的速度為v，由動量守恒定律有
mv_l+Mv₂=（m+M）v
由以上方程可解出：v=

mt2+M(t1+t2)

(M+m)t2

2gh

代入數據解得：v=6.9 m/s
運動員與滑板a的共同速度為6.9m/s；
（3）設運動員離開滑板b后，滑板b的速度為v₃，有
Mv₂+mv₃=（M+m）v₁
可算出v₃=-3 m/s，有：|v₃|=3 m/s＜v₁=6 m/s，b板將在兩個平臺之間來回運動，機械能不變．
系統的機械能改變為：△E=

1

2

(M+m)

v

2G

+

1

2

m

v

23

-(m+m+M)gh
△E=88.75 J
改變的機械能為88.75J．