Question

6．.如圖甲所示，在光滑絕緣水平桌面內建立xOy坐標系，在第II象限內有平行于桌面的勻強電場，場強方向與x軸負方向的夾角θ=45°．在第 III象限垂直于桌面放置兩塊相互平行的平板c₁、c₂，兩板間距為d₁=0.6m，板間有豎直向上的勻強磁場，兩板右端在y軸上，板c₁與x軸重合，在其左端緊貼桌面有一小孔M，小孔M離坐標原點O的距離為L=0.72m．在第IV象限垂直于x軸放置一塊平行y軸且沿y軸負向足夠長的豎直平板c₃，平板c₃在x軸上垂足為Q，垂足Q與原點O相距d₂=0.18m．現將一帶負電的小球從桌面上的P點以初速度v₀=4$\sqrt{2}$m/s垂直于電場方向射出，剛好垂直于x軸穿過c₁板上的M孔，進入磁場區域．已知小球可視為質點，小球的比荷$\frac{q}{m}$=20C/kg，P點與小孔M在垂直于電場方向上的距離為s=$\frac{\sqrt{2}}{10}$m，不考慮空氣阻力．

（1）求勻強電場的場強大小．
（2）要使帶電小球無碰撞地穿出磁場并打到平板c₃上，求磁感應強度的取值范圍．
（3）若t=0時刻小球從M點進入磁場，磁場的磁感應強度如圖乙隨時間呈周期性變化（取豎直向上為磁場正方向），求小球從M點到打在平板c₃上所用的時間．（計算結果保留兩位小數）

Answer 1

分析 （1）小球在第二象限做類平拋運動，根據類平拋運動的規律可以求出勻強電場的場強
（2）畫出臨界軌跡，根據洛倫茲力提供向心力求出半徑表達式，由幾何關系求出半徑，即可求出磁感應強度的范圍；
（3）求出粒子在磁場中運動的半徑和周期，畫出軌跡，分別求出粒子在磁場中運動的時間和離開磁場的時間，即可求出小球從M點到打在平板c₃上所用的時間

解答 解：（1）小球在第二象限類平拋運動，s=v₀t
平行電場方向  at=v₀tanθ
根據牛頓第二定律qE=ma
代入數據解得$E=8\sqrt{2}V/m$
（2）小球通過M點的速度為：v=$\frac{{v}_{0}^{\;}}{sinθ}$=8m/S
$qvB=m\frac{{v}_{\;}^{2}}{R}$   
得   $B=\frac{mv}{qR}$
小球剛好能打到Q點時，磁感應強度最大，設為B₁，此時小球的軌跡半徑為R₁，由幾何關系有：$T=\frac{2πm}{Bq}$
解得，R₁=0.4m     B₁=1T         
小球恰好不與C₂板相碰時，磁感應強度最小，設為B₂，此時小球運動的半徑為R₂，
易得  R₂=d₁，
解得：${B}_{2}^{\;}=\frac{2}{3}T$        
所以，磁感應強度的范圍是：$\frac{2}{3}T$≤B≤1T    
（3）小球進入磁場勻速圓周運動，半徑 r=$\frac{mv}{qB}$=0.18m 
      周期  T=$\frac{2πr}{v}=\frac{9π}{200}$
小球在磁場中的運動軌跡如下圖

一個周期內小球在x軸方向的位移為3r=0.54m
而L-3r=0.18m=r，即，小球剛好垂直y軸方向離開磁場  
則在磁場中運動的時間：${t}_{1}^{\;}=2{T}_{0}^{\;}+\frac{T}{4}=\frac{33π}{800}s$
離開磁場到打在平板${c}_{3}^{\;}$上所用時間：${t}_{2}^{\;}=\frac{p9vv5xb5_{2}^{\;}}{v}=\frac{9}{400}s$
小球從M點到打在平板${c}_{3}^{\;}$上所用總時間：$t={t}_{1}^{\;}+{t}_{2}^{\;}=\frac{33π+18}{800}s=0.15s$
答：（1）勻強電場的場強大小$8\sqrt{2}V/m$．
（2）要使帶電小球無碰撞地穿出磁場并打到平板c₃上，磁感應強度的取值范圍$\frac{2}{3}T≤B≤1T$．
（3）若t=0時刻小球從M點進入磁場，磁場的磁感應強度如圖乙隨時間呈周期性變化（取豎直向上為磁場正方向），小球從M點到打在平板c₃上所用的時間0.15s

點評 本題考查帶電粒子在電磁場中的運動，解決本題的關鍵是畫出粒子的運動軌跡，理清運動的情境，根據合適的規律列式，難度較大．