Question

16．如圖所示，橫截面積為S的熱水杯蓋扣在水平桌上，開始時內部封閉氣體的溫度為27℃，壓強為大氣壓強p₀．當封閉氣體溫度上瓶30℃時，水杯蓋恰好被整體頂起，放出少許氣體后又落回桌面，其內部壓強立即減為p₀，溫度仍為30℃．再經過一段時間，由于室溫的降低內部氣體溫度 降至21℃．整個過程中封閉氣體均可視為理想氣體．求：
（i）當封閉氣體溫度上升至30℃且水杯蓋未被頂起時的壓強p₁；
（ii）當封閉氣體溫度下降至時，豎直向上提起杯蓋所需的最小力F_min．

Answer 1

分析 （i）根據查理定律，一定質量一定體積理想氣體的壓強與熱力學溫度成正比，在杯蓋內的氣體質量體積不變，溫度升高，初狀態和末狀態的壓強和溫度之比不變，據此求出末狀態的壓強；
（ii）杯蓋剛好被頂起時，受重力、大氣的壓力和內部氣體的壓力，三者合力為零．放出少許氣體后溫度再次下降的過程中仍符合查理定律，此時若想提起杯蓋，杯蓋受到向上的力是提起杯蓋的力，內部氣體的壓力，向下的力是大氣壓力和杯蓋重力．根據受力平衡，求出力的大小．

解答 解：（ⅰ）氣體進行等容變化，開始時，壓強P₀，溫度T₀=（27+273）K=300K
當溫度上升到30℃且尚未放氣時，壓強為P₁，溫度T₁=（30+273）=303K
根據$\frac{{p}_{0}^{\;}}{{T}_{0}^{\;}}=\frac{{p}_{1}^{\;}}{{T}_{1}^{\;}}$
可得${p}_{1}^{\;}=\frac{{T}_{1}^{\;}}{{T}_{0}^{\;}}{p}_{0}^{\;}=\frac{303}{300}{p}_{0}^{\;}=1.01{p}_{0}^{\;}$
（ⅱ）放氣后內部氣體，壓強P₀，溫度T₁=（30+273）=303K
氣體做等容變化，溫度下降至T₂=（21+273）K=294K時，壓強${p}_{2}^{\;}$
根據$\frac{{p}_{0}^{\;}}{{T}_{1}^{\;}}=\frac{{p}_{2}^{\;}}{{T}_{2}^{\;}}$
解得${p}_{2}^{\;}=\frac{{T}_{2}^{\;}}{{T}_{1}^{\;}}{p}_{0}^{\;}=\frac{294}{303}{p}_{0}^{\;}=\frac{98}{101}{p}_{0}^{\;}$
當杯蓋恰被頂起時有
${p}_{1}^{\;}S=mg+{p}_{0}^{\;}S$
若將杯蓋提起時所需的最小力滿足
${F}_{min}^{\;}+{p}_{2}^{\;}S=mg+{p}_{0}^{\;}S$
解得 ${F}_{min}^{\;}=\frac{401}{10100}{p}_{0}^{\;}S≈0.04{p}_{0}^{\;}S$
答：（i）當封閉氣體溫度上升至30℃且水杯蓋未被頂起時的壓強${p}_{1}^{\;}$為$1.01{p}_{0}^{\;}$；
（ii）當封閉氣體溫度下降至時，豎直向上提起杯蓋所需的最小力${F}_{min}^{\;}$為$0.04{p}_{0}^{\;}S$．

點評 本題考查氣體實驗定律及共點力平衡條件的應用，要注意明確前后氣體質量不同，只能分別對兩部分氣體列狀態方程求解．