Question

如圖所示的軌道由位于豎直平面的圓弧軌道和水平軌道兩部分相連而成。水平軌道的右側有一質量為2m的滑塊C與輕質彈簧的一端相連，彈簧的另一端固定在豎直的墻M上，彈簧處于原長時，滑塊C在P點處；在水平軌道上方O處，用長為L的細線懸掛一質量為m的小球B，B球恰好與水平軌道相切于D點，并可繞D點在豎直平面內擺動。質量為m的滑塊A由圓弧軌道上靜止釋放，進入水平軌道與小球B發生碰撞，A、B碰撞前后速度發生交換。P點左方的軌道光滑、右方粗糙，滑塊A、C與PM段的動摩擦因數均為μ=，其余各處的摩擦不計，A、B、C均可視為質點，重力加速度為g。

(1)若滑塊A能以與球B碰前瞬間相同的速度與滑塊C相碰，A至少要從距水平軌道多高的地方開始釋放?

(2)在(1)中算出的最小值高度處由靜止釋放A，經一段時間A與C相碰，設碰撞時間極短，碰后一起壓縮彈簧，彈簧最大壓縮量為 L，求彈簧的最大彈性勢能。

Answer 1

解析：(1)要使滑塊A能以與B碰前瞬間相同的速度與C碰撞，必須使小球B受A撞擊后在豎直平面內完成一個完整的圓周運動后從左方撞擊A，使A繼續向右運動。

設A從距水平面高為H的地方釋放，與B碰前的速度為v₀

對A，由機械能守恒得：mgH=  ①

向心力F=

設小球B通過最高點的速度為v_B，則它通過最高點的條件是：mg≤  ②

小球B從最低點到最高點機械能守恒：=2mgL+  ③

聯立①、②、③得：H≥  ④

(2)從這個高度下滑的A與C碰撞前瞬間速度v₀=  ⑤

設A與C碰后瞬間的共同速度為v，由動量守恒：mv₀＝(m＋2m)v  ⑥

A、C一起壓縮彈簧，由能量守恒定律。有：

=E_P+(μmg+μ·2mg)·  ⑦

由⑤、⑥、⑦式得：E_P==0.5mgL