Question

某農田自動灌溉的噴射裝置的截面圖如圖所示，它主要由水泵、豎直的細輸水管道和噴頭組成，噴頭的噴嘴（長度可忽略不計）離地面的高度為h。水泵啟動后，水從水池通過輸水管道壓到噴嘴并沿水平方向噴出，在地面上的落點與輸水管道中心的水平距離為R，此時噴嘴每秒噴出水的質量為m₀ ,整個供水系統的效率恒為η。忽略水池中水泵與地面的高度差，不計水進入水泵時的速度以及空氣阻力，重力加速度為g。

（1）求水從噴嘴噴出時的速度v；
（2）求水泵的功率p；
（3）若要澆灌離輸水管道中心R₁處的蔬菜，求此時噴嘴每秒鐘噴出水 
的質量m₁和水泵的功率p₁。

Answer 1

（1） 
（2）P＝m₀g(R²+4h²)/ 4hη
（3）m₁＝R₁ m₀ /R，P₁＝m₀gR₁(R₁ ²+4h²)/ 4hRη

試題分析：（1）據題意，水從噴嘴出來的運動可以看成平拋運動，則有


則水的平拋速度為：
（2）水泵對單位質量的水做功w轉化為水的機械能，由于轉化率為為，則單位質量的水增加的機械能為E=w；
則水泵的功率為P= w/t，而單位質量的水增加的勢能為

單位質量的水增加的動能為：

則單位質量的水增加的機械能E=
則水泵的功率為P=W/t=E/=
（3）已知噴嘴可以把單位質量m₀的水噴到水平距離為R的地方，
設水的密度為ρ，噴嘴的橫截面積為s，則單位質量的水有以下關系：

要把水噴到水平距離為R₁的地方，此時噴嘴噴出的水的單位質量為：

可以求得
水泵對單位質量的水做功為w₁，則水泵的功率為

由于水泵的效率為，則水泵將單位質量的水壓到h高處增加的機械能為
E=W
而單位質量的水m₁增加的動能為

單位質量的水增加的重力勢能為

則單位質量的水增加的機械能為

據以上計算可得水泵的功率為