Question

1．如圖（a）所示，在傾角θ=30°的光滑固定斜面上有一勁度系數k=100N/m的輕質彈簧，彈簧下端固定在垂直于斜面的擋板上，彈簧上端拴接一質量m=2kg的物體，初始時物體處于靜止狀態．取g=10m/s²．

（1）求此時彈簧的形變量x₀；
（2）現對物體施加沿斜面向上的拉力F，拉力F的大小與物體位移x的關系如圖（b）所示，設斜面足夠長．
a．分析說明物體的運動性質并求出物體的速度v與位移x的關系式；
b．若物體位移為0.1m時撤去拉力F，在圖（c）中做出此后物體上滑過程中彈簧彈力f的大小隨形變x′的函數圖象；并且求出此后物體沿斜面上滑的最大距離x_m以及此后運動的最大速度v_m．

Answer 1

分析 （1）對物體受力分析，根據共點力的平衡條件可求得彈簧的形變量；
（2）a、根據牛頓第二定律可求得力與位移之間的表達式，結合F-x圖象可求得加速度的表達式，即可明確運動情況；
b、根據彈力與形變量成正比，則可以得出對應的圖象；根據圖象規律可分析克服彈力所做的功，則可求得最大速度．

解答 解：（1）初始狀態時物體處于平衡狀態，則有：
kx₀=mgsinθ
代入數據解得x₀=0.1m；
（2）a．設物體運動微小位移x的過程中加速度為a，根據牛頓第二定律有：
F+k（x₀-x）-mgsinθ=ma
根據F-x圖象可知，F=4.8+100x
聯立解得：a=2.4m/s²；
彈簧發生拉伸形變時，上述結論仍成．可見，物體做加速度a=2.4m/s²的加速直線運動．
根據運動學公式可和物體的速度大小v隨x變化的表達式為：
v²=2ax
代入數據解得：v₂=4.8x
b．物體位移x=0.1m后撤去拉力，此后物體上滑過程中彈力f隨形變量x′的圖象如下圖所示；

物體上滑過程中克服彈力所做的功對應右上圖中的面積，即W_f=$\frac{1}{2}$kx_m²
撤去拉力后，在上滑過程中根據動能定理有：
-mgxmsinθ-W_f=0-$\frac{1}{2}$mv²
聯立以上可得，x_m=0.04m；
物體再次回到初始位置時速度最大，對于全過程只有拉力F對物體做功
拉力F對圖象做的功為F-x圖象下的面積，則有：
W_F=$\frac{4.8+14.8}{2}$×0.1=0.98J；
根據動能定理可得：
W_F=$\frac{1}{2}$mv_m²
聯立解得：v_m=0.7$\sqrt{2}$m/s=0.99m/s；
答：（1）此時彈簧的形變量x₀為0.1m
（2）a、物體做勻加速直線運動，物體的速度v與位移x的關系式為v₂=4.8x
b、圖象如圖所示；此后物體沿斜面上滑的最大距離x_m為0.04m；此后運動的最大速度v_m為0.99m/s．

點評 本題考查動能定理及胡克定律的應用，解題的關鍵在于圖象規律的遷移應用，要求能明確圖象性質，知道如何用圖象的面積來表示功；本題難度較大．