Question

如圖所示，放在水平地面（粗糙）上的光滑直軌道AB和半圓形的光滑軌道CED處于同一豎直平面內，兩軌道與水平地面平滑連接，其端點B和C相距1.2m，半圓軌道兩端點的連線CD與地面垂直．今有一質量為0.1kg的小球從離地面高度為4.2m處無初速釋放，運動到C點時速度為4

5

m/s，g取10m/s²．求：

（1）若要使小球恰能到達半圓形光滑軌道的最高點D，半圓形軌道CED的半徑r應為多大？
（2）若半圓形軌道CED的半徑就是前面求得的r，在B點正上方高度為3m處設置一垂直于紙面粗細可不計的橫桿，若要使小球剛好能夠從橫桿上越過．則小球在光滑直軌道AB上釋放時離地的高度應為多少？

Answer 1

分析：（1）小球剛好通過最高點，重力提供向心力，從C到D有機械能守恒，聯立方程即可求解；
（2）根據動能定理求出小球在水平地面克服摩擦力做功，小球從D點拋出后做平拋運動，根據平拋運動的基本規律即可求解．

解答：解：（1）設半圓軌道半徑為r，小球剛好通過最高點則有mg=m

v 2 D

r

從C到D有機械能守恒得

1

2

m

v

2 C

=mg(2r)+

1

2

m

v

2 D

聯立代入數值解得r=1.6m      
（2）設小球在水平地面克服摩擦力做功為W，由動能定理得mgh-W=

1

2

m

v

2 C

-0
解得：W=0.2J            
從D至橫桿高度處小球下落的高度差△h=2r-3=0.2m   
運動時間t=

2△h g

=0.2s       
小球離開D點速度v′D=

x

t

=6m/s     
由動能定理得mg(h′-2r)-W=

1

2

mv

′

2 D

-0
解得h'=5.2m      
答：（1）若要使小球恰能到達半圓形光滑軌道的最高點D，半圓形軌道CED的半徑r應為1.6m；
（2）小球在光滑直軌道AB上釋放時離地的高度應為5.2m．

點評：本題主要考查了動能定理及平拋運動基本規律的直接應用，要知道小球剛好通過最高點時由重力提供向心力，難點適中．