Question

如圖所示，水平面上有兩根很長的平行導軌，導軌間有豎直方向等距離間隔的勻強磁場B₁和B₂，導軌上有金屬框abdc，框的寬度與磁場間隔相同，當勻強磁場B₁和B₂同時以恒定速度v₀沿直導軌運動時，金屬框也會隨之沿直導軌運動，這就是磁懸浮列車運動的原理．如果金屬框下始終有這樣運動的磁場，框就會一直運動下去．設兩根直導軌間距L=0.2m，B₁=B₂=1T，磁場運動的速度v₀=4m/s，金屬框的電阻R=1.6Ω．求：
（1）當勻強磁場B₁和B₂向左沿直導軌運動時，金屬框運動的方向及在沒有任何阻力時金屬框的最大速度．
（2）當金屬框運動時始終受到f=0.1N的阻力時，金屬框的最大速度．
（3）在（2）的情況下，當金屬框達到最大速度后，為了維持它的運動，磁場必須提供的功率．

Answer 1

分析：（1）當勻強磁場B₁和B₂向左沿直導軌運動時，金屬框abcd相對于磁場向右運動，切割磁感線產生感應電動勢和感應電流，金屬框的ac、db兩邊都受到向左的安培力而做加速運動，達到穩定時，若沒有阻力，感應電流為零，金屬框的最大速度等于磁場的速度；
（2）當金屬框運動時始終受到f=1N的阻力時，達到穩定時線框做勻速直線運動，所受的安培力的合力與阻力平衡，根據f=2F_B=2B

E

R

L求出感應電動勢，由E=2BL△v求出磁場與線框的速度之差，即可由v=v₀-△v求出金屬框的最大速度；
（3）當金屬框達到最大速度后，為了維持它的運動，磁場提供的能量轉化線框中產生的內能和克服阻力產生的內能，根據能量守恒求解磁場提供的功率．

解答：解：（1）當磁場向左運動時，金屬框abdc相對磁場向右，于是金屬框中產生感應電流，根據楞次定律和左手定則判斷得知：金屬框左、右兩邊受到安培力方向向左，所以金屬框將向左加速運動．根據閉合電路歐姆定律得
   I=

2E

R

=

2BL(v0-v)

R

達到穩定狀態后，在不計阻力的情況下，I=0，金屬框最大速度為v=v₀=4m/s
（2）當金屬框運動時始終受到f=0.1N的阻力時，金屬框達穩定狀態時，根據平衡條件得
  f=2F_B=2B

E

R

L
∴E=

fR

2BL

=

0.1×1.6

2×1×0.2

=0.4V                                
而E=2BL△v
得：磁場與金屬框的相對速度為△v=

E

2BL

=

0.4

2×1×0.2

=1m/s
∴金屬框的最大速度為 v=v₀-△v=4-1=3m/s          
（3）線框中的電功率為 P_電=

E2

R

=

0．42

1.6

=0.1W
∴根據能量守恒得 P=P_電+fv=0.1+1×3W=0.4W
答：
（1）當勻強磁場B₁和B₂向左沿直導軌運動時，金屬框向左加速運動；在沒有任何阻力時金屬框的最大速度是4m/s．
（2）當金屬框運動時始終受到f=0.11N的阻力時，金屬框的最大速度是3m/s．
（3）在（2）的情況下，當金屬框達到最大速度后，為了維持它的運動，磁場必須提供的功率是0.4W．

點評：由于磁場運動使得穿過線框的磁通量發生變化，線框中產生感應電流，感應電流在磁場中又受到安培力從而使線框開始沿磁場運動方向做加速運動，需要注意的是使電路產生感應電動勢的速度，不是線框的速度而是線框相對于磁場運動的速度△v，這是解決本題的關鍵所在．