Question

15．如圖所示，在勻速轉動的電動機帶動下，足夠長的水平傳送帶以恒定速率v₁順時針運動，一質量為m的滑塊從傳送帶右端以水平向左的速率v₂（v₂＞v₁）滑上傳送帶，最后滑塊返回傳送帶的右端，關于這一過程，求：
（1）此過程中傳送帶對滑塊做的功；
（2）此過程中因運送物體電動機對傳送帶額外做的功；
（3）此過程中滑塊與傳送帶間由于摩擦而產生的熱量．

Answer 1

分析 物體由于慣性沖上皮帶后，受到向左的滑動摩擦力，減速向右滑行，之后依然受到向左的滑動摩擦力，會繼續向左加速，然后根據v₁小于v₂的情況分析．
根據動能定理得全過程傳送帶對物塊做的總功．根據能量守恒找出各種形式能量的關系．

解答 解：（1）由于傳送帶足夠長，物體減速向左滑行，直到速度減為零，然后物體會在滑動摩擦力的作用下向右加速，由于v₁＜v₂，物體會先在滑動摩擦力的作用下加速，當速度增大到等于傳送帶速度時，物體還在傳送帶上，之后不受摩擦力，故物體與傳送帶一起向右勻速運動，有v′₂=v₁，此過程中只有傳送帶對滑塊做功根據動能定理W′=△E_K得
W=△E_K=$\frac{1}{2}$mv₁²-$\frac{1}{2}$mv₂²；
（2、3）設滑塊向左運動的時間t₁，位移為x₁，則：x₁=$\overline{{v}_{2}}$t₁=$\frac{{v}_{2}}{2}$t₁
摩擦力對滑塊做功：W₁=fx₁=f$\frac{{v}_{2}}{2}$t₁①
又摩擦力做功等于滑塊動能的減小，即：W₁=$\frac{1}{2}$mv₂²  ②
該過程中傳送帶的位移：x₂=v₁t₁
摩擦力對滑塊做功：W₂=fx₂=fv₁t₁=fv₁$\frac{2{x}_{1}}{{v}_{2}}$=2fx$\frac{{v}_{1}}{{v}_{2}}$③
將①②代入③得：W₂=mv₁v₂
設滑塊向右運動的時間t₂，位移為x₃，則：x₃=$\frac{{v}_{1}}{2}$t₂ 
摩擦力對滑塊做功：W₃=fx₃=$\frac{1}{2}$mv₁²
該過程中傳送帶的位移：x₄=v₁t₂=2x₃
滑塊相對傳送帶的總位移：x_相=x₁+x₂+x₄-x₃=x₁+x₂+x₃
滑動摩擦力對系統做功：W_總=fx_相對=W₁+W₂+W₃=$\frac{1}{2}$m（v₁+v₂）²
滑塊與傳送帶間摩擦產生的熱量大小等于通過滑動摩擦力對系統做功，Q=W_總=f•x_相=$\frac{1}{2}$m（v₁+v₂）²；
全過程中，電動機對皮帶做的功與滑塊動能的減小量等于滑塊與傳送帶間摩擦產生的熱量，即Q=W+$\frac{1}{2}$mv₂²-$\frac{1}{2}$mv₁²
整理得：W=Q-$\frac{1}{2}$mv₂²+$\frac{1}{2}$mv₁²=mv₂²+mv₁v₂，
答：（1）此過程中傳送帶對滑塊做的功為$\frac{1}{2}$mv₁²-$\frac{1}{2}$mv₂²；
（2）此過程中因運送物體電動機對傳送帶額外做的功為mv₂²+mv₁v₂；
（3）此過程中滑塊與傳送帶間由于摩擦而產生的熱量為$\frac{1}{2}$m（v₁+v₂）²．

點評 本題關鍵是對于物體返回的過程分析，物體先做減速運動，之后反向加速，最后做勻速運動．但是計算滑塊與傳送帶間摩擦產生的熱量的過程太復雜．