Question

蕩秋千是大家喜愛的一項體育活動．隨著科技的迅速發展，將來的某一天，同學們也許會在其它星球上享受蕩秋千的樂趣．假設你當時所在星球的質量為M，半徑為R，可將人視為質點，秋千質量不計、擺長不變、擺角小于900，若經過最低位置的速度為v₀．萬有引力常量為G．
（1）該星球的第一宇宙速度是多少？
（2）該星球表面附近的重力加速度g是多少？
（3）擺動過程中，你能上升的最大高度是多少？
（4）若你的質量是m秋千擺長，經過最低位置時你對秋千的壓力是多大？

Answer 1

分析：（1）第一宇宙速度的大小等于貼近星球表面做勻速圓周運動的速度大小，根據萬有引力提供向心力求出第一宇宙速度的大小．
（2）根據萬有引力等于重力求出星球表面的重力加速度．
（3）根據機械能守恒定律求出上升的最大高度．
（4）根據在最低點合力提供向心力求出支持力的大小，從而根據牛頓第三定律得出對秋千的壓力大小．

解答：解：（1）設質量為m的衛星圍繞星球表面飛行速度為v，萬有引力提供向心力
G

Mm

R2

=m

v2

R

解得v=

GM R

（2）設物體的質量為m，在星球表面附近的重力等于萬有引力
G

Mm

R2

=mg
解得g=

GM

R2

（3）設人的質量為m，能上升的最大高度為h，由機械能守恒定律得
mgh=

1

2

mv02
解得h=

R2v02

2GM

．
（4）經過最低點時，秋千的支持力F和人的重力G提供向心力，
有：F-mg=m

v02

l

解得F=m(

GM

R2

+

v02

l

)
由牛頓第三定律得，F壓=F=m(

GM

R2

+

v02

l

)．
答：（1）該星球的第一宇宙速度是v=

GM R

．
（2）該星球表面附近的重力加速度g=

GM

R2

（3）能上升的最大高度是h=

R2v02

2GM

．
（4）經過最低位置時你對秋千的壓力是m(

GM

R2

+

v02

l

)．

點評：本題考查了萬有引力與機械能守恒和牛頓第二定律的綜合，掌握萬有引力提供向心力和萬有引力等于重力這兩個理論，并能靈活運用．