Question

如圖所示，A、B兩小球用輕桿連接，A球只能沿內(nèi)壁光滑的豎直滑槽運動，B球處于光滑水平面內(nèi)．開始時桿豎直，A、B兩球靜止．由于微小的擾動，B開始沿水平面向右運動．已知A球的質(zhì)量為m_A，B球的質(zhì)量為m_B，桿長為L．則：
（1）A球著地時的速度為多大？
（2）A球機械能最小時，水平面對B球的支持力為多大？
（3）若m_A=m_B，當A球機械能最小時，桿與豎直方向夾角的余弦值為多大？A球機械能的最小值為多大？（選水平面為參考平面）

Answer 1

分析：（1）在運動的過程中，系統(tǒng)機械能守恒，A球著地時，B球的速度為零，根據(jù)系統(tǒng)機械能守恒定律求出A球著地時的速度大小．
（2）當A球機械能最小時，B球的速度最大，此時B球的加速度為0，則桿對球的作用力為0．根據(jù)平衡求出水平面對B球的支持力大小．
（3）根據(jù)系統(tǒng)機械能守恒結(jié)合A、B速度的關(guān)系求出B的速度與桿與豎直方向夾角的關(guān)系，結(jié)合數(shù)學求導的方法求出B的速度最大時，即A的機械能最小時，桿與豎直方向夾角的余弦值，以及求出A球機械能的最小值．

解答：解：（1）A球著地時，B球的速度為0．
設此時A球速度為v，由系統(tǒng)機械能守恒得   mAgL=

1

2

mAv2
解得   v=

2gL

（2）當A球機械能最小時，B球的速度最大，此時B球的加速度為0，則桿對球的作用力為0．
設小球受到的支持力為N，對B球受力分析可得   N=m_Bg
（3）設桿與豎直方向間夾角為θ，B球的速度為v_B，此時A球的速度為v_A，則mAgL(1-cosθ)=

1

2

mAvA2+

1

2

mBvB2
且v_A和v_B沿桿方向上分速度大小相等，即  v_Acosθ=v_Bsinθ
聯(lián)立解得   vB=

2gL(1-cosθ)cos2θ

令y=（1-cosθ）cos²θ，當y的導數(shù)y?=0時，A球機械能最小，v_B達最大值，即sinθcos²θ-2（1-cosθ）cosθsinθ=0
解得cosθ=

2

3

vA=

30gL

9

則A球機械能的最小值  EAmin=mAgLcosθ+

1

2

mAvA2=

23mAgL

27

答：（1）A球著地時的速度為v=

2gL

．
（2）A球機械能最小時，水平面對B球的支持力為 N=m_Bg．
（3）當A球機械能最小時，桿與豎直方向夾角的余弦值為

2

3

，A球機械能的最小值為

23mAgL

27

．

點評：解決本題的關(guān)鍵知道A、B組成的系統(tǒng)在運動的過程中機械能守恒．知道當B的速度最大時，A的機械能最小．