Question

11．拖把是由拖桿和拖把頭構成的擦地工具（如圖）．設拖把頭的質量為m，拖桿質量可以忽略；拖把頭與地板之間的動摩擦因數為常數μ，重力加速度為g，某同學用該拖把在水平地板上拖地時，沿拖桿方向推拖把，拖桿與豎直方向的夾角為θ．
（1）若拖把頭在地板上勻速移動，求推拖把的力的大小．
（2）設能使該拖把在地板上從靜止剛好開始運動的水平推力與此時地板對拖把的正壓力的比值為λ．已知存在一臨界角θ₀，若θ≤θ₀，則不管沿拖桿方向的推力多大，都不可能使拖把從靜止開始運動．求這一臨界角的正切tanθ₀．

Answer 1

分析 （1）對拖把頭受力分析，抓住豎直方向和水平方向合力為零，運用正交分解求出推力F的大小．
（2）當推力F的水平分力小于等于最大靜摩擦力時，不管沿拖桿方向的推力多大，都不可能使拖把從靜止開始運動．結合第1問的結果，得到λ的表達式，采用極限法：當F無限大時的情況求解tanθ₀．

解答 解：（1）拖把頭受到重力、支持力、推力和摩擦力處于平衡，設該同學沿拖桿方向用大小為F的力推拖把．
將推拖把的力沿豎直和水平方向分解，
按平衡條件有
豎直方向上：Fcosθ+mg=N…①
水平方向上：Fsinθ=f…②
式中N和f分別為地板對拖把的正壓力和摩擦力．按摩擦定律有 f=μN…③
聯立①②③式得 $F=\frac{μ}{sinθ-μcosθ}mg$…④
（2）若不管沿拖桿方向用多大的力不能使拖把從靜止開始運動，
應有Fsinθ≤λ N…⑤
這時①式仍滿足．聯立①⑤式得 sinθ-λcosθ≤λ$\frac{mg}{F}$…⑥
現考察使上式成立的θ角的取值范圍．注意到上式右邊總是大于零，且當F無限大時極限為零，
有sinθ-λcosθ≤0…⑦
使上式成立的θ角滿足θ≤θ₀，這里θ₀是題中所定義的臨界角，即當θ≤θ₀時，不管沿拖桿方向用多大的力都推不動拖把．
臨界角的正切為tanθ₀=λ…⑧
答：（1）若拖把頭在地板上勻速移動，推拖把的力的大小為$\frac{μ}{sinθ-μcosθ}mg$．
（2）tanθ₀=λ．

點評 本題第1問是常規題，根據平衡條件，運用正交分解法求解推力．第2問是一種自鎖現象，根據推不動的條件：推力的水平分力不大于最大靜摩擦力出發進行分析求解．