Question

假設若干年后，宇航員站在了火星表面．如果宇航員在火星上時，自頭頂自由釋放一個小球，經時間t，小球恰好落到火星表面．已知火星的半徑為R，萬有引力常量為G，宇航員的高為h，不計火星表面大氣及火星自轉的影響．求：
（1）火星表面的重力加速度g
（2）火星的質量M
（3）宇航員要乘坐返回艙返回距離火星中心為r的軌道艙（圍繞火星運動的艙體）．為了安全，返回艙與軌道艙對接時，必須具有相同的速度．返回艙與軌道艙對接時，應該具有的速度大小．

Answer 1

（1）對小球在火星表面的自由落體運動：h=

1

2

gt²     
解得：g=

2h

t2

（2）忽略火星自轉的影響，根據萬有引力等于重力得：
對位于火星表面的物體m：

GMm

R2

=mg
解得：M=

gR2

G

       
（3）對位于火星表面的物體m：

GMm

R2

=mg
對軌道艙m₀的圓周運動：

GMm0

r2

=m0

v2

r

       
應該具有的速度大小，解得：v=

R

t

2h r

      （其中m₀為軌道艙的質量，v為軌道艙的速度大小）
答：（1）火星表面的重力加速度是

2h

t2

（2）火星的質量是

gR2

G

（3）返回艙與軌道艙對接時，應該具有的速度大小是

R

t

2h r

．